Chacune des gares routières desservies par la compagnie d'autocars délivre autant de billets différents qu'il y a de gares, à l'exception d'elle-même, bien sûr. Sur chaque billet sont indiqués la gare où le billet a été achété et la gare de destination.

La compagnie dessert depuis ce matin plusieurs gares supplémentaires, et de ce fait, a dû faire imprimer 76 types de billets différents supplémentaires.

Combien de gares dessert actuellement la compagnie ?

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Réponses

2014-08-21T11:38:58+02:00
Soit n le nombre initial de gares et k le nombre de gares supplémentaires.
Une gare dessert n-1 gares. Elle délivre donc n-1 tickets différents.
Il y a donc n(n-1) tickets au total
Avec n+k gares on a (n+k)(n+k-1) tickets
Il y a 76 gares de plus donc (n+k)(n+k-1)-n(n-1)=76
Soit n²+2kn+k²-n-k-n²+n=76
⇔2kn+k²-k=76
⇔k(2n+k-1)=76
k et 2n+k-1 sont entiers il n'y a donc que 2 façons d'obtenir 76 : 2x38 ou 4x19
si k=2, 2n+k-1=38 soit 2n=37 ce qui est impossible
donc k=4 et 2n+k-1=19 soit n=8
Il y a donc actuellement 8+4=12 gares