Il avait beaucoup plu, sur cette planète, pendant fort longtemps.

Sur la place centrale d'un village abandonné trônait un pluviomètre, capable de contenir au maximum un demi litre. Sur ce pluviomètre, des dessins racontaient l'histoire suivante :

Au soir du jour ou ce pluviomètre fut installé, il contenait déjà 1/3 de litre. Mais à partir de ce jour précis, la pluie a commencé à diminuer. Les anciens habitants de cette planète ont constaté qu'il tombait chaque jour trois fois moins d'eau que la veille. Ainsi, par exemple, il tomba le deuxième jour 1/9 de litre, le troisième jour 1/27 de litre... Finalement, il n'y eut plus assez d'eau pour abreuver les habitants, qui finirent par disparaître quelques centaines d'années plus tôt...

En supposant que l'humidité de l'air soit suffisante pour avoir empêché l'évaporation de l'eau du pluviomètre, en supposant aussi que personne n'ait touché à son contenu, en supposant enfin qu'il ait continué à pleuvoir chaque jour trois fois moins que la veille, le pluviomètre était-il plein le jour où il fût découvert ?

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Réponses

2014-08-21T09:27:12+02:00
Le premier jour le pluviomètre est rempli de 1/3
Le second de 1/9
Le 3ème de 1/27 et ainsi de suite.
On en déduit que le n-ième jour, il s'est rempli de 1/3^n
Lorsqu'on le découvre il est donc rempli de :
V=1/3+1/9+1/27+...+1/3^n
V est la somme des termes d'une suite géométrique de raison 1/3 et de premier terme 1/3
Donc V=1/3*(1-1/3^n)/(1-1/3)
V=1/3*(1-1/3^n)/(2/3)
V=3/2*1/3*(1-1/3^n)
V=1/2*(1-1/3^n)
Quand n tend vers l'infini 1/3^n tend vers 0 donc V tend vers 1/2.
Le pluviomètre est donc quasiment plein puisqu'il tend ver 1 demi-litre dans jamais l'atteindre vraiment.