Chaque année, à Pâques, Grand-Mère réunit ses quatre petits enfants dont deux sont jumeaux.

La première année, elle constate que la somme des âges de trois d'entre eux est égale à l'âge du quatrième.

Quelques années plus tard, elle remarque que la somme des âges de trois d'entre eux est le triple de l'âge du quatrième.

Quand le nombre d'années écoulées depuis la première fois est la moitié de la somme des âges de cette première fois, l'un des petits enfants vient d'atteindre sa majorité et elle constate que la somme de leurs âges actuels est égale au sein.

Quel âge a Grand-Mère ?

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Réponses

2014-08-18T14:13:27+02:00
Bonjour.

D'après la première fois, les jumeaux ne sont pas les aînés.

Supposons qu'ils soient au milieu.
D’après de la deuxième fois, l'âge de chacun est la moitié de la somme des âges de l'aîné et du cadet, donc à distances égales de ces âges.
Soient d cette distance et a l'âge qu'avaient les jumeaux lors de la première fois.
a-d + a + a = a+d; 2a = 2d; a = d; le plus jeune avait 0 an.
La somme des âges lors de cette première fois est 4 a. Lors de la troisième fois, il s'est écoulé 2a depuis la première et les enfants ont maintenant respectivement 3a+d, 3a, 3a et 3a-d, en tout 12a.
Or a = d; les enfants ont donc 4a, 3a, 3a et 2a ans.
Ce n'est pas l'aîné qui vient d'atteindre sa majorité car 18 n’es pas divisible par 4, ni les jumeaux, car un seul enfant vient de l’atteindre. Il s’agit donc du cadet. a = 9 et la grand-mère a 9*12 = 108 ans.
Cette solution ne convient guère car 108 ans est peu probable et l’âge de 0 ans lors de la première fois est assez étrange.   Supposons que les jumeaux soient les plus jeunes. D’après  de la deuxième fois, l’âge de celui du milieu est la moyenne des trois autres âges. Sa distance d à l’âge des jumeaux est la moitié de sa distance à l’âge de l’aîné. Soit a l’âge qu’avait celui du milieu lors de la première fois. Les enfants avaient a+2d, a, a-d, a-d ans. a-d + a-d + a = a+2d ; 2a = 4a ; d = a/2. La somme des âges lors de la première fois est 4a. Lors de la troisième fois, les enfants ont respectivement 3a+2d, 3a, 3a-d et 3a-d ans, en tout 12 a. Or d = a/2. Ils ont donc 4a, 3a, 2,5 et 2,5a ans. 18/4 et 18/2,5 ne sont pas des nombres entiers. C’est donc l’enfant du milieu qui a atteint sa majorité. a = 18/3 = 6. La grand-mère est a 6*12 = 72 ans.
La première fois, les enfants avaient 12, 6, 3  et 3 ans.
La troisième fois, ils ont 24, 18, 15  et 15 ans.