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2014-08-18T12:01:33+02:00
La bonne formule est 2²+4²+6²+...+n²=2/3*n(n+1)(2n+1)
On note Sn cette série.
On voit que chaque terme de la série est de la forme (2k)²=4*k²
On a donc Sn=4(1²+2²+3²+...+n²).
Il faut donc démontrer que Sn/4=1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
Démonstration par récurrence :
Pour n=1, 1²=1(1+1)(2+1)/6=2*3/6=1
C'est vérifié pour n=1
Supposons qu'au rang n, on ait :
1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
Alors 1²+2²+...+n²+(n+1)²=n(n+1)(2n+1)/6+(n+1)²
n(n+1)(2n+1)/6+(n+1)²=((n²+n)(2n+1)+6(n²+2n+1))/6=(2n³+n²+2n²+n+6n²+12n+6)/6
n(n+1)(2n+1)/6+(n+1)²=(2n³+9n²+13n+6)/6
Or (n+1)(n+2)(2n+3)=(n²+2n+n+2)(2n+3)=2n³+3n²+4n²+6n+2n²+3n+4n+6
(n+1)(n+2)(2n+3)=2n³+9n²+13n+6
Donc n(n+1)(2n+1)/6+(n+1)²=(n+1)(n+2)(2n+3)/6
On a donc bien quelque soit n : 1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
Soit Sn/4=4n(n+1)(2n+1)/6=2/3*n(n+1)(2n+1)

Démonstration par somme télescopique :
n²=((n+1)³-n³-3n-1)/3=((n+1)³-n³)/3-n-1/3
Donc 1²+2²+...+n²=((n+1)³-1³)/3-(1+2+...+n)-n/3
Or on sait que 1+2+...+n=n(n+1)/2
Donc
1²+2²+...+n²=(n³+3n²+3n)/3-n(n+1)/2-n/3
1²+2²+...+n²=(2n³+6n²+6n-3n(n+1)-2n)/6
1²+2²+...+n²=(2n³+3n²+n)/6=n(2n²+3n+1)/6
1²+2²+...+n²=n(2n²+n+2n+1)/6=n((n(2n+1)+(2n+1))/6
1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
On a donc Sn/4=n(n+1)(2n+1)/6
et Sn=2/3*n(n+1)(2n+1)