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2014-08-13T12:32:52+02:00
Tout d'abord regarde d'un peu plus près chaque terme de cette fonction :

\displaystyle{f(x) = x - ( x + 1) + (x + 2) -(x + 3) + ... + ( x + 2008) - ( x + 2009)}

Combinons 2 termes successifs pour trouver la somme que cela donne :

x - ( x + 1) = - 1
(x + 2 ) - ( x + 3) = - 1
( x + 2008) - (x + 2009) = -1

On s'aperçoit que quelque soit la valeur de x, cela donne toujours - 1. Donc x n'influe pas sur le résultat final. Cette fonction peut être exprimée sous la forme d'un somme dont tous les termes sont égaux à -1.

f(x) = [x-(x+1)] + [(x+2)-(x+3)] + [(x+4)-(x+5)] + [(x + 6) - ( x + 7)]
     =      (-1)   +        (-1)            +         (-1)        +        (-1)
     = - 4

Et je peux continuer ainsi de suite jusqu'à (x + 2008) - ( x + 2009). Au lieu de cela, soyons plus malin.

Si on compte le nombre de termes de cette équation  de x à ( x + 2009) on voit qu'il y en a  2010. On a vu plus haut qu'il faut combiner deux termes pour trouver -1.
Donc quelque soit x, il suffit de prendre le nombre de tous les termes et de diviser par 2 et de multiplier le résultat par -1.

Nombre de termes = 2010
Je divise par 2 et je multiplie par -1 : (2010/2)*(-1) = -1005. 

Comme x n'influe pas sur le résultat final, la fonction a comme résultat -1005 quelque soit x. Ainsi :
f(x) = -1005 et
f(2231) = -1005


Effectivement, vu comme ça, ça passe beaucoup mieux ! =)