Paradoxe de la flèche (Zenon d'Élée). Saurez-vous dire en quoi la logique de ce raisonnement est faux ?

Si le temps et l'espace sont constitués d'instants et d'emplacements insécables, une flèche est à chaque instant tn en un emplacement déterminé en. A l'instant tn+1 suivant, elle devrait être en en+1 : ceci n'est pas possible car pour passer de en à en+1 , il lui faut un certain temps. Or, entre tn et tn+1, il n'y a, par hypothèse, aucun instant.

Si, désormais l'espace est divisible à l'infini, elle devra d'abord parcourir la moitié de la distance d qui la sépare de la cible, puis la moitié de la distance restante et ainsi de suite indéfiniment car la moitié d'une distance non nulle ne sera jamais nulle. Ainsi, dans les deux hypothèses, la flèche n'atteindra pas la cible.

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Réponses

2014-08-12T14:39:10+02:00
 Avant de tenter une démonstration mathématique pour résoudre ce paradoxe. Je vais expliquer ce que Zénon veut exprimer d’un point de vue philosophique (à cette époque la philosophie suivait un raisonnement mathématique et logique). Il a une vision atomiste de l’espace et du temps (ces deux dimensions sont insécables), il exprime l’idée que le mouvement n’existe pas. 

 Chacun sait que le temps se décompose en instants qui sont indivisibles (analogie : un peu comme un droite qui est constituée d’une infinité de points infiniment petits). Le temps est donc un flux d’instants qui s’écoulent les uns à la suite des autres. Si la flèche est en mouvement, cela veut dire qu’au début d’un instant elle est à une position donnée et à la fin du même instant elle est à une autre position. Ce qui veut dire qu’on divise un instant alors qu’il est indivisible. Ce qui est contradictoire.

La flèche n’est donc pas en mouvement, elle a une position donnée à chaque instant mais reste immobile pendant chaque instant. D’où : le temps est une succession d’instants, et chaque instant est un moment où le temps est arrêté è le temps ne s’écoule pas et le mouvement n’existe donc pas.

Si on examine la formule de la vitesse :
 vitesse = distance/temps on s'aperçoit que le calcul de toute vitesse revient à associer une distance à un intervalle de temps (la durée). Si cet intervalle de temps est nul, le calcul de la vitesse est nul :

  vitesse = 0/0 ce qui est d'un point de vue logique absurde.