J’ai une question concernant un des paradoxes de Xenon : Achille et la tortue. La réponse est absurde et pourtant elle est logiquement vraie. Pourriez-vous m’apporter des explications svp ?

Paradoxe : Achille fait la course avec une tortue et lui laisse 10 mètres d’avance. Elle commence à marcher et aussitôt Achille se met à courir pour la rattraper. Or à chaque pas qu’il fait, la tortue avance elle aussi. Achille se retrouve donc à l’endroit où la tortue était. Il se rapproche d’elle petit à petit mais ne peut pas la rattraper car il y a toujours une distance qui les sépare, aussi petite soit-elle.

L’expérience montre qu’Achille la rattrapera forcément mais comme cette démonstration logique prouve qu’ils ne peuvent pas être au même endroit au même moment..

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Réponses

2014-08-01T15:56:38+02:00
Le philosophe Zenon a voulu démontrer que le monde - et plus largement l'univers - est insécable, on ne peut le diviser en une infinité de sous-partie sans arriver à une contradiction. Le paradoxe d'Achille et la tortue est un des 4 arguments qui veulent prouver cette contradiction.

En effet, lorsqu'Achille fait un pas, la tortue aussi. On peut schématiser comme ceci :

Instant 1 : A =============================> T
Instant 2 :                A ==========================> T   
Instant 3 :                            A =======================> T  
Instant 4 :                                       A ====================> T  
.......
Instant ∞ :                                              A => T

J'ai mis un schéma plus joli en pièce jointe (librement réutilisable, source : bog de martin grandjean). La distance entre Achille est une ligne droite qui se réduit peu à peu mais qui est constituée d'une infinité de points. S'il y a une infinité de point, il est impossible qu'Achille atteigne la tortue. Ce qui rend le mouvement nul finalement.

Démonstration que ce raisonnement est faux

L'erreur c'est de penser que la somme d'une infinité de distance de plus en plus petite tend vers l'infini. D'un point de vue empirique, la mesure du temps ou de l'espace, des longueurs, ... n'aurait aucun sens. Le pommier dans le jardin de ma grand-mère peut être schématiser par une ligne verticale. Une ligne a une infinité de points et pourtant le pommier fait 4,20m or 4,20 ≠ ∞.

De la même manière, si Achille doit parcourir 1/10ème de la distance entre lui et la tortue, il devra avant parcourir 1/100ème de cette distance, et avant cela 1/1000ème... donc finalement il ne bouge pas. Le raisonnement de Zenon voudrait dire que le mouvement - et donc le temps - n'existe pas. Or notre expérience quotidienne nous montre le contraire.

Le mathématicien écossais James Gregory a démontré au XVIIe siècle que ce paradoxe était faux grâce au calcul infinitésimal. Une somme infinie ne tend pas forcément vers l'infini. Et donc la série de distances infiniment plus petites à chaque instant donne un résultat fini : le point où Achille aura rattrapé la tortue.