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2014-07-25T22:58:21+02:00
Bonsoir,

Soit les événements suivants : 
A : la salle S1 est occupée
B : la salle S2 est occupée.

L'énoncé indique les relations suivantes :

P(A\cup B)=0,9\\\ P(A\cap B)=0,5\\\ P(A)=P(B)

Or P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)
soit  0,9=P(A)+P(B)-0,5\\0,9=P(A)+P(A)-0,5\\0,9=2P(A)-0,5\\2P(A)=1,4\\P(A)=\dfrac{1,4}{2}\\\\\boxed{P(A)=0,7}

Question 1 : Quelle est la probabilité que la salle S1 soit libre ?

Cela revient à calculer  P(\bar{A})

P(\bar A)=1-P(A)\\\\\boxed{P(\bar A)=0,3}

La probabilité que la salle S1 soit libre est égale à 0,3

Question 2 : Quelle est la probabilité que les deux salles soient libres ?

Cela revient à calculer  P(\bar A \cap \bar B)

P(\bar A \cap \bar B)=P(\overline{A\cup B})\\P(\bar A \cap \bar B)=1-P(A\cup B)\\P(\bar A \cap \bar B)=1-0,9\\\\\boxed{P(\bar A \cap \bar B)=0,1}

La probabilité que les deux salles soient libres est égale à 0,1

Question 3 : Quelle est la probabilité que l'une des salles au moins soit libre ?

Cela revient à calculer P(\bar A \cup \bar B)

P(\bar A \cup \bar B)=P(\overline {A\cap B})\\P(\bar A \cup \bar B)=1-P(A\cap B)\\P(\bar A \cup \bar B)=1-0,5\\\\\boxed{P(\bar A \cup \bar B)=0,5}

La probabilité que l'une des salles au moins soit libre est égale à 0,5

Question 4 : Quelle est la probabilité que'une seule salle soit libre ?

Cela revient à calculer P(\bar A \cup \bar B)-P(\bar A \cap \bar B)

P(\bar A \cup \bar B)-P(\bar A \cap \bar B)=0,5-0,1\\\\\boxed{P(\bar A \cup \bar B)-P(\bar A \cap \bar B)=0,4}

La probabilité qu'une seule salle soit libre est égale à 0,4