Soit f la fonction définie sur l'ensemble R par f(x) = 2x²+x-6

1) montrer que f peut aussi s’écrire f(x) = 2(x- \frac{3}{2} )(x+2) et f(x) = 2(x+ \frac{1}{4} )² -  \frac{49}{8} nommer chacune des formes

2) en utilisant la forme la plus adaptée répondre aux questions suivantes :
a) calculer f(0)
b) calculer f( \frac{-1}{4} )
c) résoudre f(x) = 0
d) quel est l'extremum de f

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Réponses

Meilleure réponse !
2014-07-08T14:08:18+02:00
1) f(x)=2x²+x-6 : c'est la forme développée de f
f(x)=2(x²+x/2-3)=2(x²+2x-3x/2-3)
f(x)=2(x(x+2)-3/2(x+2))
f(x)=2(x+2)(x-3/2) : c'est la forme factorisée de f

f(x)=2(x²+x/2+3)
f(x)=2(x²+2*1/4*x+1/16-1/16-3)
f(x)=2((x+1/4)²-1/16-3)
f(x)=2((x+1/4)²-1/16-48/16)
f(x)=2(x+1/4)²-2*49/16
f(x)=2(x+1/4)²-49/8 : c'est la forme canonique de f

2) a) Pour f(0) on utilise la forme développée :
f(0)=2*0²+0-6=-6

b) Pour f(-1/4) on utilise la forme canonique de f :
f(-1/4)=2(-1/4+1/4)²-49/8=-49/8

c) Pour f(x)=0 on utilise la forme factorisée :
f(x)=0
⇔2(x+2)(x-3/2)=0
⇔(x+2)(x-3/2)=0
⇔x+2=0 ou x-3/2=0
⇔x=-2 ou x=3/2

d) f(x) est une parabole dont le terme en x² est positif (1) : elle atteint donc un minimum.
Comme f(-2)=f(3/2)=0 ce minimum est atteint pour l'abscisse au milieu de -2 et 3/2 soit (-2+3/2)/2=-1/4
Donc le minimum est f(-1/4)=-49/8
2014-07-08T14:23:35+02:00
F(x)=2xcarré+x-6
=2(xcarré+x/2-6/2)
=2((x+1/4)^2-1/16-48/16)
=2((x+1/4)^2-49/16)
=2(x+1/4)^2-49/8        Ceci est la forme canonique de la fonction

f(x)=2x^2+x-6
On calcule le discriminant delta=1-4(2x-6)=1+48=49   
Les 2 racines de f(x) sont : -1-V49/4=-1-7/4=-8/4=-2
ET -1+V49/4=-1+7/4=6/4=3/2
Donc f(x)=2(x-3/2)(x+2)        Ceci est la forme factorisée de la fonction

2a)f(0)=2x0^2+0-6=-6      La forme développée , c'est celle de départ , est la + adaptée
2b) f(-1/4)=2(-1/4+1/4)^2-49/8=-49/8    La forme canonique est la + adaptée
2c)f(x)=0    Donc  2(x-3/2)(x+2)=0  La forme factorisée est la + adaptée
Donc x-3/2=0        ou     x+2=0
Donc x=3/2          ou x=-2         S=(-2;3/2)

2d) La forme canonique nous donne l'extrêmum de coordonnées (-1/4;-49/8)