SOS svp ..... Soit f:R-->R et a un nombre réel .Montrer que
1. Si f est paire alors intégral allant de -a A a f(x)dx=2integral allant de o A a f(x)dx=0
2. si f est impaire alors intégral allant de -a A a f(x)dx=0
3.si f est périodique de période T alors intégral allant de a A a+T f(x)dx=intégral allant de 0 A T f(x)dx

1

Réponses

Meilleure réponse !
2014-06-24T00:14:47+02:00
Bonsoir,

Dans cet exercice, nous devons supposer que f est continue.

1. f est paire.
\int\limits_{-a}^a f(x)dx=\int\limits_{-a}^0 f(x)dx+\int\limits_{0}^a f(x)dx\\\\=\int\limits_{-a}^0 f(-t)d(-t)+\int\limits_{0}^a f(x)dx\ \ \ (en\ posant\ x=-t)

Or f(-t) = f(t) car f est paire
    d(-t) = -dt
De plus si -t = -a, alors t = a
            si -t = 0, alors t = 0

D'où  \int\limits_{-a}^a f(x)dx=-\int\limits_{a}^0 f(t)dt+\int\limits_{0}^a f(x)dx\\\\\int\limits_{-a}^a f(x)dx=\int\limits_{0}^a f(t)dt+\int\limits_{0}^a f(x)dx\\\\\int\limits_{-a}^a f(x)dx=\int\limits_{0}^a f(x)dx+\int\limits_{0}^a f(x)dx\\\\\boxed{\int\limits_{-a}^a f(x)dx=2\int\limits_{0}^a f(x)dx}
              
2. f est impaire

\int\limits_{-a}^a f(x)dx=\int\limits_{-a}^0 f(x)dx+\int\limits_{0}^a f(x)dx\\\\=\int\limits_{-a}^0 f(-t)d(-t)+\int\limits_{0}^a f(x)dx\ \ \ (en\ posant\ x=-t)

Or f(-t) = -f(t) car f est impaire
    d(-t) = -dt
De plus si -t = -a, alors t = a
            si -t = 0, alors t = 0

D'où  \int\limits_{-a}^a f(x)dx=-\int\limits_{a}^0 -f(t)dt+\int\limits_{0}^a f(x)dx\\\\\int\limits_{-a}^a f(x)dx=\int\limits_{a}^0 f(t)dt+\int\limits_{0}^a f(x)dx\\\\\int\limits_{-a}^a f(x)dx=\int\limits_{a}^0 f(x)dx+\int\limits_{0}^a f(x)dx\\\\\int\limits_{-a}^a f(x)dx=\int\limits_{a}^a f(x)dx}\\\\\boxed{\int\limits_{-a}^a f(x)dx=0}
              
3. f est périodique et de période T.

\int\limits_{a}^{a+T} f(x)dx=\int\limits_{a}^{0} f(x)dx+\int\limits_{0}^{T} f(x)dx+\int\limits_{T}^{a+T} f(x)dx

Posons x = s + T
Alors dx = ds
De plus si x = T, alors s = 0
            si x = a+T, alors s = a.

D'où 

\int\limits_{a}^{a+T} f(x)dx=\int\limits_{a}^{0} f(x)dx+\int\limits_{0}^{T} f(x)dx+\int\limits_{0}^{a} f(s)ds\\\\\int\limits_{a}^{a+T} f(x)dx=\int\limits_{a}^{0} f(x)dx+\int\limits_{0}^{T} f(x)dx+\int\limits_{0}^{a} f(x)dx\\\\\int\limits_{a}^{a+T} f(x)dx=\int\limits_{0}^{T} f(x)dx+\int\limits_{a}^{0} f(x)dx+\int\limits_{0}^{a} f(x)dx\\\\(en\ permumtant\ les\ 2\ premiers\ termes)\\\\\int\limits_{a}^{a+T} f(x)dx=\int\limits_{0}^{T} f(x)dx+\int\limits_{a}^{a} f(x)dx

\\\\\int\limits_{a}^{a+T} f(x)dx=\int\limits_{0}^{T} f(x)dx+0\\\\\boxed{\int\limits_{a}^{a+T} f(x)dx=\int\limits_{0}^{T} f(x)dx}