EXO 3 : Soit un triangle ABC quelquonque et un point K sur le cote [AB].
on appelle I le centre du cercle inscrit dans le triangle CAK
on appelle J le centre du cerclce inscrit dans le triangle CBK
Démontrer que le triangle IJK est rectangle en K (photo 1)

EXO 4 : Dans la photo n 2

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Réponses

2014-06-12T15:39:13+02:00
Exo3:
B, K et A sont alignés donc BKA=180°
BKA=BKJ+CKJ+CKI+AKI=180°
Le centre du cercle inscrit est l'intersection des bissectrices donc BKJ=CKJ et CKI=AKI
On a donc BKJ+CKJ+CKI+AKI=2*BKJ+2*AKI=180°
Donc BKJ+AKI=90°
On reprend l'expression BKJ+CKJ+CKI+AKI=180°
CKJ+CKI=180-BKJ-AKI=180-(BKJ+AKI)=90
Or CKJ+CKI=JKI donc JKI=90°
Donc IJK est rectangle en K

Exo4
1)
PF est tangent en K au cercle de centre O. Donc OK et PF sont perpendiculaires.
Le triangle OKF est donc rectangle en K.
KOF+OKF+OFK=180°
Donc OFK=180-OKF-KOF=180-90-38=52°

2) O est l'intersection des bissectrices du triangle PIF donc FO est la bissectrice de l'angle en F du triangle PIF. Donc PFI=2*52=104°
PO est la bissectrice de l'angle en P du triangle PIF donc FPI=2*FPO=2*KPO=2*23=46°
FPI+PIF+PFI=180°
Donc PIF=180-PFI-FPI=180-46-104=30°
IO est le bissectrice de l'angle en I du triangle PIF donc OIF=PIF/2=15°