Réponses

2014-06-10T02:50:25+02:00
Exercice 8

Prouver que le triangle ABC est rectangle avec la réciproque de Pythagore

AB²=AC²+BC²
5² = 4² + 3²
25 = 16 + 9
25 = 25
√25=√25
Le carré de la somme des côtés est égale au carré de l'hypoténuse donc c'est un triangle rectangle

Calcul du sinus

Sin A = Côté opposé / hypoténuse

Sin A = BC/AB

Sin A = 3/5
La valeur de sin A = 0,6
d'où
Mesure de  Â ≈ 36,87° (avec la calculatrice)

Mesure de l'angle B
La somme des angles d'un triangle est égale à 180°.
D'où :
Angle B = 180° - (90° + 36,87°)
Angle B = 180° - 126,87°
Angle B = 53,13°

Exercice n°9

Faire la figure en grandeur réelle.
BC = a
AB = b
AC = c

Calcul de l'aire du triangle ABC
Aire d'un triangle = (Base × hauteur) / 2

Comme la hauteur est inconnue je te propose de calculer l'aire du triangle  avec la formule de Héron puisque nous connaissons la mesure des côtés du triangle ABC.
Formule de Héron
A =  \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
Je calcule la valeur de s
s= \frac{1}{2}(a+b+c) \\ \\  s =  \frac{1}{2}(14+13+15) \\  \\ s= \frac{1}{2}(42) \\  \\ s=21
J'applique la formule de Héron avec les valeurs :
A= \sqrt{21(21-14)(21-13)(21-15)}  \\ \\  A= \sqrt{21(7)(8)(6)}  \\  \\ A= \sqrt{21(336)}  \\  \\ A= \sqrt{7056}  \\  \\ A = 84 
L'aire du triangle ABC est égale à 84 cm²

Pour calculer la hauteur je propose cette formule :
Hauteur= \frac{2*Aire}{base}
h= \frac{2*84}{14} \\  \\ h= \frac{168}{14}   \\  \\ h=12 cm
La hauteur h mesure 12 cm

Pour calculer x utilisons le théorème de Pythagore
AB^{2}= h^{2}+ x^{2}  \\  \\13^{2}=12^{2} + x^{2}  \\  \\ 169=144+ x^{2}  \\  \\ 169-144= x^{2}  \\  \\  \sqrt{25}=x \\   \\ x=5 cm
La mesure de x autrement dit BH est égale à 5cm
d'où l'on peut déduire la mesure de HC = 14 - 5 = 9 cm

La mesure des angles
Angle B
cos angle B = côté adjacent / hypoténuse
Cos angle B = BH/AB
Cos angle B = 5/13
Valeur du cos = 0,384615
Avec la calculatrice la mesure de l'angle B est égale à 67,38°

Angle C
Cos angle C = côté adjacent / hypoténuse
Cos angle C = HC/AC
Cos angle C = 9/15
Valeur du Cos = 0,6
Avec la calculatrice la mesure de l'angle C est égale à 53,13°

Angle A
Somme des angles d'un triangle est égale à 180° d'où
Angle A= 180° - (angle B + Angle C)
Angle A = 180° - (67,38° + 53,13°)
Angle A = 180° - 120,51
 = 59,49°
La mesure de l'angle A est égale à 59,49°.