Voici une bouteille constituée d'un cylindre et d'un tronc de cône surmonté par un goulot cylindrique. La bouteille est pleine lorsqu'elle est remplie jusqu'au goulot.
hauteur 15 cm base 10cm

1. Calculer le volume exact de la partie cylindrique de la bouteille puis en donner un arrondi au cm3.
2. Pour obtenir le tronc du cône, on a coupé un cone par un plan parallèle à la base passant par O'. La hauteur SO du grand cône est de 6 cm et la hauteur SO' du petit cône est égale à 2 cm. Le rayon de la base du grand cône est de 5 cm.

a. calculer le volume V1 du grand cône de hauteur SO (donner la valeur exacte).
b. Montrer que le volume V2 du tronc de cône est égal à 1300/27 cm3. En donner une valeur arrondie au cm3.

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Réponses

2014-05-28T21:36:44+02:00
Bonsoir,

1) V_{cylindre}=\pi\times R^2\times h

Le diamètre de la base de la bouteille est égal à  10/2 cm = 5 cm
La hauteur de la partie cylindrique de la bouteille est égale à 15 cm.

V_{cylindre}=\pi\times 5^2\times 15=375\pi\approx1178

Le volume de la partie cylindrique de la bouteille est égal à 375π cm^3, soit environ 1178 cm^3 (arrondi au cm^3).

2) a) V_{c\hat{o}ne}=\dfrac{1}{3}\times \pi\times R^2\times h

Le rayon du grand cône est égal à 5 cm.
La hauteur du grand cône est égale à 6 cm.

V_1=\dfrac{1}{3}\times \pi\times 5^2\times 6\\\\V_1=\dfrac{1}{3}\times \pi\times 150\\\\\boxed{V_1=50\pi\ cm^3}

b) Le petit cône est une réduction du grand cône de rapport SO'/SO = 2/6 = 1/3.

D'où  V'_1=(\dfrac{1}{3})^3\times50\pi\\\\V'_1=\dfrac{1}{27}\times50\pi\\\\\boxed{V'_1=\dfrac{50\pi}{27}\ cm^3}

Par conséquent le volume du tronc de cône est égal à 

V_2=V_1-V'_1\\\\V_2=50\pi-\dfrac{50\pi}{27}\\\\V_2=\dfrac{1350\pi}{27}-\dfrac{50\pi}{27}\\\\\boxed{V_2=\dfrac{1300\pi}{27}\ cm^3\approx151\ cm^3}\ (arrondi\ au\ cm^3)

Le volume V2 du tronc de cône est égal à 1300π/27 cm^3, soit environ 151 cm^3 (arrondi au cm^3)