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2014-05-23T00:18:05+02:00
Exercice 52
1.a. Le tétraèdre ABCD est régulier donc les 4 faces du tétraèdre sont identiques et sont des triangles équilatéraux de coté a.

donc les triangles ADC et ABC sont des triangle équilatéraux de côté a.

b. I est le milieu de [AC] donc AI = a/2
Le triangle AIB est rectangle en I donc d'aprèsle théorème de Pythogre :
AB² = AI² + IB²
donc
IB² = AB² - AI²
IB² = a² - (a/2)²
IB² = a² - a²/4
IB² = 4a²-a²/4
IB² = 3a²/4
d'où IB = v3a²/4 (V se lit racine carrée de)
IB = aV3/2
Comme ABC et ADC sont identiques
ID = IB = aV3/2

2. Triangle IBD pour a = 5 cm
IB = 5V3/2 = 4,33 cm
ID = IB = 4,33
BD = 5 cm

3. J milieu de [BD]
donc le triangle IJB est rectangle en J et d'près le htéorème de Pythagore
IB² = IJ²+JB²
IJ² = IB² - JB²
IJ² = (aV3/2)² - (a/2)²
IJ² = 3a²/4 - a²-4
IJ² = 2a²/4
d'où
IJ = aV2/2

Aire de IBD
A = IJ * BD/2
A = aV2/2 *a/2
A = (a²V2)/4

4. Calcul DIJ
dans le triangle DIJ rectangle en J
sin(DIJ) = JD/ID = (a/2) / (aV3/2) = a/2 * 2/aV3 = 1/V3
doù angle DIJ = 35°

DIB = 2 DIJ = 2*35 = 70°