On considère que dans une classe de Terminale contenant 34 élèves , chaque élève a 89% de chance d'obtenir son bac et que le résultat d'un élève est indépendant du résultat des autres élèves de la classe.

1)quelle est la probabilité que seulement un élève de la classe échoue à l'examen?

2)quelle est la proba qu'au moins deux élèves de la classe échouent à l'examen?*combien d'élèves en moyenne auront leur bac dans cette classe?

3)quel est l'écart type de la variable aléatoire X ?

4)quelle est la proba que 30 élèes au plus obtiennent leur bac?

AIDEZ-MOI SVP :(

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Réponses

2014-05-20T23:34:17+02:00
Bonsoir,

La variable aléatoire X suit une loi binomiale B(34 ; 0,89).

1)quelle est la probabilité que seulement un élève de la classe échoue à l'examen?
1-0,89=0,11

La probabilité que seulement un élève de la classe échoue à l'examen est égale à 0,11.

2)quelle est la proba qu'au moins deux élèves de la classe échouent à l'examen?

"Au moins deux élèves de la classe échouent à l'examen" est équivalent à 
"Au plus 32 élèves de la classe réussissent à l'examen"

p(X\le32)=1-p(X>32)\\\\p(X\le32)=1-p(X=33)-p(X=34)\\\\p(X\le32)=1-34\times0,89^{33}\times0,11-0,89^{34}\\\\\boxed{p(X\le32)\approx0,90}

La probabilité qu'au moins deux élèves de la classe échouent à l'examen est environ égale à 0,90.

*combien d'élèves en moyenne auront leur bac dans cette classe?
E[X]=np\\\\E[X]=34\times0,89\\\\\boxed{E[X]=30,26}

30 élèves en moyenne auront leur bas dans cette classe.

3)quel est l'écart type de la variable aléatoire X ?

\sigma_X=\sqrt{np(1-p}\\\\\sigma_X=\sqrt{34\times0,89\times0,11}\\\\\sigma_X=\sqrt{3,3286}\\\\\boxed{\sigma_X\approx 1,82}

L'écart type de la variable aléatoire X vaut environ 1,82.

4)quelle est la proba que 30 élèves au plus obtiennent leur bac?

p(X\le30)=1-p(X>30)\\\\p(X\le30)=1-p(X=31)-p(X=32)-p(X=33)-p(X=34)\\\\p(X\le30)\\=1-\binom{34}{31}\times0,89^{31}\times0,11^3-\binom{34}{32}\times0,89^{32}\times0,11^2\\-\binom{34}{33}\times0,89^{33}\times0,11^1-\binom{34}{34}\times0,89^{34}\times0,11^0\\\\p(X\le30)\\=1-5984\times0,89^{31}\times0,11^3-561\times0,89^{32}\times0,11^2\\-34\times0,89^{33}\times0,11^1-1\times0,89^{34}\times1\\\\\boxed{p(X\le30)\approx0,67}

La probabilité que 30 élèves au plus obtiennent leur bac est environ égale à 0,67.