On definit les ofnctions suivante sur l'intervalle I=[0;8]

U(x)=x²+6x-7 ; F(x)=|u(x)| G(x)=0,625x²-5x+5

resoudre u(x)>0 et en deduire l'expression de f(x) sans valeur absolue.

-Resoudre l'inequation F(x)>G(x) (sur l'intervalle [0;7] puis [7;8]

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Réponses

2012-11-18T12:06:20+01:00

u(x) est une fonction du second degré, tu sais étudier ce type de fonction j'imagine.

au final il y'a deux racines soit deux solutions tel que U(x)=0

qui sont x=-7 et x=1 tu remarques que le coéficient du second deré est 1. (1× x²)

 

Tu en conclus que u(x)>0 pour tout x ∈ [-∞;-7[ U ]1;+∞]

F(x)=|u(x)|

c'est à dire que si u(x) est positif ou égal à 0 alors f(x)=u(x) cependant, si u(x) est négatif alors f(x)=-u(x)

 

donc, ∀ x ∈  [-∞;-7] U [1;+∞]  et ∀ x ∈ ]-7;1[

f(x)=x²+6x-7                                 f(x)=-x²-6x+7

 

(0.625= \frac{5}{8})

 

G(x)=\frac{5x^2}{8}-5x+5

 

Sur l'intervalle 0 à 7:

 

f(x)=-x²-6x+7 sur [0;1]

donc résoudre f(x)>g(x)

 

⇔-x²-6x+7>\frac{5x^2}{8}-5x+5

 

\frac{-13x^2}{8}-x+2>0  (étude d'une fonction du second degré).

delta=14 il y'a deux racines x1=\frac{1-\sqrt{14}}{\frac{-13*2}{8}} (qui est supérieur à 0)

 

et x2=\frac{1+\sqrt{14}}{\frac{-13*2}{8}} (inférieur à 0)

 

sur [0;1]

donc f(x)>g(x) pour tout x ∈ [0; \frac{4(1-\sqrt{14})}{-13} ] (car a<0)

 

sur l'intervalle [1;7]

on résoud x²+6x-7>\frac{5x^2}{8}-5x+5

 

\frac{3x^2}{8}+11x-12>0

 

cette inéquation du second degré a 2 racine (delta=139)

 

x1=\frac{-11-\sqrt{139}}{\frac{5*2}{8}} (inférieur à 0)

 

x2=\frac{-11+\sqrt{139}}{\frac{5*2}{8}} (supérieur à 0)

 

sur [1;7]

f(x)>g(x) ∀ x ∈ [ \frac{-11+\sqrt{139}}{\frac{5*2}{8}} ; 7]  (car a>0 et que 1<x2<7)

 

 

 

 pour conclure. sur [0;7] f(x)>g(x)

 

∀ x ∈ [ 0 ; \frac{4(1-\sqrt{14})}{-13}]U[ \frac{4(-11\sqrt{139})}{5} ; 7]

 

sur l'intervalle [7;8] comme on a déjà étudié f(x)>g(x) avec f(x)=u(x)

on a donc f(x)>g(x) pour tout x sur [7;8]