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2014-05-15T23:10:19+02:00
Bonsoir,

Le triangle ABC est rectangle en A.

D'une part, nous avons :

\cos(\widehat{ACB}) = \dfrac{3}{5}\\\\\dfrac{AC}{BC}= \dfrac{3}{5}\\\\5\times AC=3\times BC

D'autre part,

\cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{4}{5}\\\\\dfrac{AB}{BC}= \dfrac{4}{5}\\\\5\times AB=4\times BC

Divisons les résultats entre eux.

\dfrac{5\times AC}{5\times AB}=\dfrac{3\times BC}{4\times BC}\\\\\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3}{4}\\\\3\times AB=4\times AC\\\\3\times AB-4\times AC=0

On sait de plus que AB + AC = 2.

Résolvons le système : \left\{\begin{matrix}3\times AB-4\times AC = 0\\AB+AC=2\end{matrix}\right.

Multiplions la 2ème équation par 4.

\left\{\begin{matrix}3\times AB-4\times AC = 0\\4\times AB+4\times AC=8\end{matrix}\right.

Additionnons ces équations entre elles.

(3\times AB-4\times AC)+(4\times AB+4\times AC)=0+8\\\\3\times AB-4\times AC+4\times AB+4\times AC=8\\\\7\times AB=8\\\\\boxed{AB=\dfrac{8}{7}}

Remlaçons AB par 8/7 dans l'équation AB + AC = 2.

\dfrac{8}{7}+AC=2\\\\AC=2-\dfrac{8}{7}\\\\AC=\dfrac{14}{7}-\dfrac{8}{7}\\\\\boxed{AC=\dfrac{6}{7}}

Par Pythagore dans le triangle rectangle ABC, 

BC² = AB² + AC²
BC² = (8/7)² + (6/7)²
BC² = 64/49 + 36/49
BC² = 100/49
BC = √(100/49) 
\boxed{BC=\dfrac{10}{7}}


\boxed{AB=\dfrac{8}{7}\ ;\ AC=\dfrac{6}{7}\ ;\ BC=\dfrac{10}{7}}