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2014-05-09T11:40:44+02:00
Exercice 15
1. P(x) = x² + 2x - 4
il faut factoriser P(x) pour trouver ses éventuelles racines.
Or x² + 2x nous reconnaissons le début d'une identité remarquable de la forme a²+2ab+b² = (a+b)²
qui serait x²+2x+1²= (x+1)²
donc
x²+2x = x²+2x+1 -1
x²+2x = (x+1)² -1
donc
P(x) = x² + 2x - 4
P(x) = (x+1)² -1 - 4
P(x) = (x+1)² - 5

Pour trouver les racines de P(x), résoud l'équation P(x) = 0 donc
(x+1)² - 5 = 0
(x+1)² = 5
donc
x+1 = V5 ou x+1 = -V5
x = 1+V5 ou x = 1-V5
x = 3,24 et x = -1,24
donc aucun des nombres de la listes ne conviennent.

2. P(x) = x² - x - 6
l faut factoriser P(x) pour trouver ses éventuelles racines.
Or x² - x nous reconnaissons le début d'une identité remarquable de la forme a²-2ab+b² = (a+b)²
qui serait x²- x + (1/2)² = (x-1/2)²
donc
x² - x = (x-1/2)² -(1/2)²
x² - x = (x-1/2)² - 1/4
donc
P(x) = x² - x - 6
P(x) = (x-1/2)² - 1/4 - 6
P(x) = (x-1/2)² - 1/4 - 24/4
P(x) = (x-1/2)² - 25/4
P(x) = (x-1/2)² - (5/2)²

Pour trouver les racines de P(x), résoud l'équation P(x) = 0 donc
(x-1/2)² - (5/2)² = 0
On reconnais ici une identité remarquable de la forme a² - b² = (a-b)(a+b) avec a=x-1/2 et b = 5/2
donc
(x-1/2 - 5/2)(x-1/2 + 5/2) = 0
(x-6/2)(x+4/2) = 0
(x-3)(x+2) = 0
d'où
x-3 = 0 ou x+2 = 0
x = 3 ou x = -2
Les racines de P(x) sont 3 et -2
or -2 est le seul qui se trouve dans la liste proposée.