Bonjour, désolée de vous déranger une fois de plus avec mon DMbonjour, désolée de vous déranger une fois de plus avec mon DM de math qui est a rendre pour lundi de la rentrée, il s'agit là des probabilités et dénombrement, je suis coincée sur un exo nommé "Bon anniversaire!" qui est compliqué pour moi voici l énoncé:

Dans une classe de 20 élèves, quelle est la probabilité que 2 personnes (ou plus) fêtent leur anniversaire le même jour?

1) Pour simplifier le problème, on considère d'abord un groupe de 4 personnes. On suppose que les dates d'anniversaires sont équiprobables, et on cherche à calculer la probabilité que 2 personnes (ou plus) fêtent leur anniversaire le même mois. (les mois sont numérotés de 1 à 12)

1)a) Calculer le nombre total de façons de donner un mois de naissance à chacune des 4 personnes.

1)b) On note A l'événement: 《Au moins 2 personnes ont leur anniversaire le même mois》. Comment peut-on calculer card(A)?

1)c) Définir en français l'événement contraire de l'événement A

1)d) Calculer P(l'événement contraire de l'événement A), puis en déduire P(A).

2) Dans un groupe de 5 personnes, quelle est la probabilité que 2 personnes (ou plus) fêtent leur anniversaire le même mois.

3) Dans une classe de 20 élèves, quelle est la probabilité que 2 personnes (ou plus) fêtent leur anniversaire le même jour?

j’espère que quelqu'un pourra m'aider car je ne sais pas quoi faire et en plus c'est noté je suis déprimée, merci d'avance

1

Réponses

2014-05-08T15:41:17+02:00
Je vais essayer de t'aider mais je ne suis pas familier de ce genre de problème.
1a) il faut prendre les 12 mois de l'année 4 à 4 .
Il s'agit donc de combinaisons avec répétition 
Kn,p = Cn+p-1;p ici n = 12 et p = 4 
on a donc K12,4 = C15;4 = A15,4/4! = 15.14.13.12/24 = 1365 façons
1b) au moins deux personnes = 2 ou 3 ou 4 personnes
 2 personnes:
 il y a 12 façons de choisir le mois et il reste à repartir les 11 autres mois 2 par 2
donc 2 personnes = 12.C11,2 = 12.11.10/2 = 660
3 personnes : 12 façons de choisir le mois commun et 11 façons pour le 4e
donc 3 personnes: 12.11 = 132
4 personnes = 12 façons de choisir le mois
Card(A) = 660 + 132 + 12 = 804 
1c) événement contraire de A c'est finalement "il n'y a pas deux personnes qui ont leur anniv le même mois"
donc chacun a son anniv un mois différent.
Il y a C12,4 façons donc 12.11.10.9/24 = 495 façons
P(événement contraire) = 495/1365 = 0,36
P(A) = 1-0,36 = 0,64 
2.
K12,5 = C16,5 = A16,5/5!= 4368
personne n'a son anniv le même mois => C12,5 = 792
P( personne n'a son anniv le même mois) = 792/4368 = 0,181
P(au moins 2 personnes ...) = 1- 0,181 = 0,8187
3. 
K365,20 = C384, 20 = 1,207...x10^33
personne n'a son anniv le même jour C365,20 = 4,2611...x10^32
P(personne n'a son anniv le même jour ) = 4,2611...x10^32/1,207...x10^33 = 2,8
pas possible....
ça foire forcément qqpart, mais je pense que le raisonnement global est bon.
Si tu n'as rien d'autre mets ça, ça te vaudra qd même qq points.
Ce serait sympa de me tenir au courant de la bonne réponse.
Bonne chance.
merci je vous tiendrais au courant de ce qu'aurait mis mon prof d math