J'aurais besoin d'aide pour cet exercice qui est un DM de maths que je n'arrive pas du tout à faire. Es ce que vous pourriez m'aider s'il vous plaît, merci.

Exercice 2:
Le bénéfice d'une entreprise en milliers d'euros, en fonction de la quantité x de milliers d'objets vendus, est modélisé par B(x)= -2/3x(au cube) + 11/2x² + 6x - 20 pour x appartient [0;10].
Partie A: Conjectures
1. Représenter la fonction B à l'écran d'une calculatrice
2. Conjecturer pour quelles ventes d'objets l'activité de l'entreprise est rentable.

Partie B: Calculs
1.a) Déterminer B'(x)
b) Etudier le signe de B'(x) puis dresser le tableau de variations de B sur l'intervalle [0;10]
2. Déterminer la quantité d'objets à vendre pour que le bénéfice soit maximal.
3. a) Justifier que l'équation B(x)=0 admet deux solutions alpha et bêta dans l'intervalle [0;10]
b) Déterminer une valeur approchée à 10(-3) rès de alpha puis de bêta.
4. a) Faire le tableau de signe de B(x)
b) En déduire, à l'unité près, la quantité minimale et la quantité maximale que l'entreprise doit vendre pour qu'elle soit rentable.

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Réponses

2015-07-24T11:01:33+02:00
A1) Voir graphe joint.
A2) Le bénéfice est positif pour 1,5≤x≤8,9 (valeur approximatives)

B1a) B'(x)=-3*2/3*x²+2*11/2*x+6=-2x²+11x+6
B1b) On cherche les racines de -2x²+11x+6=0
Δ=11²-4*(-2)*6=121+48=169
√Δ=13
donc les racines sont x1=(-11+13)/(-4)=-1/2 ∉ [0;10]
et x2=(-11-13)/(-2)=24/4=6
Donc B'(x)=(x+1/2)(x-6)
Le signe de B' dépend de x-6 car x+1/2≥0 sur [0;10]
Soit les variations suivantes :
x              0                          6                                10
B'(x)                        +           0               -
B(x)                croissant                   décroissant

B2) Le bénéfice est maximal quand B'(x)=0 soit quand x=6 soit 6.000 objets

B3a) B(0)=-20
B(6)=70
B(10)=-2/3*1000+11/2*100+600-20≈-76,7
D'après les variations de B on en déduit que B(x)=0 admet 2 solutions sur [0,10]

B3b) En procédant par dichotomie :
B(1)≈-9,2<0
B(2)≈8,7>0
Donc on calcule B(1,5)≈-0,875<0 donc la solution est dans [1,5:2] car B est croissante sur [1;2]
B(1,75)≈3,771>0 donc la solution est dans [1,5;1,75]
B(1,625)≈1,413>0 donc la solution est dans [1,5;1,625]
B(1,563)≈0,269>0 donc la solution est das  [1,5;1,563]
B(1,532)≈-0,296<0 donc la solution est dans [1,532;1,563]
B(1,547)≈-0,024<0 donc la solution est dans [1,547;1,563]
B(1,555)≈0,122>0 donc la solution est dans [1,547;1,555]
B(1,551)≈0,049>0 donc la solution est dans [1,547;1,551]
B(1,549)≈0,013> donc la solution est dans [1,547;1,549]
B(1,548)≈-0,005 : α=1,548 solution approchée à 0,001 près

On fait pareil pour la deuxième solution sur [8;9] en faisant attention que B est décroissante sur cet intervalle et on trouve β=8,883

B4a)
x              0                          α                          β                            10
B(x)                          -                            +                          -

B4b) On en déduit que pour être rentable l'entreprise doit au minimum produire 1548 objets et au maximum 8883.