Bonjour je suis actuellement en 1ere S et je bloque sur cette question qui est une question de cours , pouvez vous m'aider . Merci d'avance .

NB:ce qui est entre parenthèses signifie que c'est en puissance. exemple q(2)=q²

Exercice:Soit q un entier tel que q ≠0 et q ≠1.
Montrer que , pour tout entier naturel n : 1+q+q²+...+q(n)=(1-q(n+1))/(1-q)

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Réponses

Meilleure réponse !
2014-05-05T11:25:34+02:00
On peut faire une démonstration par récurrence :
Pour n=1 :
1+q= \frac{1-q^{2}}{1-q}= \frac{(1+q)(1-q)}{1-q)}=1+q
C'est vrai pour n=1
Supposons que 1+q+q²+...+q^{n}= \frac{1-q^{n+1}}{1-q}
Alors 1+q+q²+...+q^{n}+q^{n+1}= \frac{1-q^{n+1} }{1-q}+q^{n+1}
Or  \frac{1-q^{n+1}}{1-q}+q^{n+1}= \frac{1-q^{n+1}+q^{n+1}-q^{n+2}}{1-q}
Donc 1+q+q²+...+ q^{n+1}= \frac{1-q^{n+2} }{1-q}