Le segment ci-contre est partagé de telle sorte que a sur b = a+b sur a
On dit alors que ce segment est partagé suivant la section d'or.

1/a) Dans ce cas, justifier que : a²-ab-b² = 0
b) En déduire que le quotient a sur b est une solution de l'équation x²-x-1 = 0
2/ Vérifier que le nombre d'or 1+ V5 sur 2 est une solution de l'équation x²-x-1 = 0

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Réponses

2014-05-03T20:20:22+02:00
1/
a)
a/b=  (a+b)/a  ⇔ a/b - (a+b)/a =0
                        ⇔[ a×a -b(a+b)]/ab =0
                        ⇔( a² -ab-b²)/ab=0
                        ⇔a²-ab -b² = 0

b) en posant  x= a/b

l'expression  x²-x-1 s'écrit ( a/b)²-(a/b) -1 

on réduit au même dénominateur d'où

( a/b)²-(a/b) -1 =( a² -a×b- b²)/ b² = (a²-ab -b²)/b²

(a²-ab -b²)/b² = 0 ⇔(a²-ab -b²)=0

donc a/b est solution de l'équation x²-x-1 = 0

2) je remplace (1+√5)/2 dans l'équation x²-x-1=0 soit

(1+√5)²/4 - (1+√5)/2 -1 = [(1+2√5 +5)/4- 2(1 +√5)/2 - 4]/4
                                 =(1+2√5+5-2-2√5-4)/4
                                  =(6-6+2√5-2√5)4
                                   =0/4
                                  =0
(1+√5)/2 est bien solution de l'équation   x²-x-1 = 0