Dans une société, chaque année, il y a 7 informaticiens de plus et 3 secrétaires de moins. Il y a au départ 15 informaticiens et 74 secrétaires.

Un designe le nombre d'informaticiens l'année n et Vn désigne le nombre de secrétaires l'année n.

a) quels sont les termes initiaux des suites (Un) et (Vn) ?

b) montrer que les suites (Un) et (Vn) sont arithmétiques et donner leurs raison.

c) donner les expressions directes de Un et de Vn en fonction de n.

d) au bout de combien d'années p a-t-on plus d'informaticiens que de secrétaires ?

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Réponses

2014-04-29T22:27:19+02:00
A. En 2000 (n0), a0 = 15, b0 = 74. 
En 2001 (n+1), a1 = a0 + 7 = 22, b1 = b0 -3 = 71. 
En 2002 (n+2), a2 = a1 + 7 = 29, b2 = b1 - 3 = 68. 
En 2003 (n+3), a3 = a2 + 7 = 36, b3 = b2 - 3 = 65. 
Et j'ai fait un tableau après. 

b. Les deux suites sont arithmétiques, car dire qu'une suite est arithmétique signifie qu'il existe un réel r tel que pour tout entier naturel n, un+1 = un +r. r est appelé raison de la suite (cf mon cours). 
Ici, an+1 = an + r, or on a an+1 = an + 7. La raison de la suite est 7. 
Et, bn+1 = bn + r, or on a bn+1 = bn - 3. La raison de la suite est -3. 

c. 
a(n) = 15 + 7n 
b(n) = 74 - 3n 

d. 
a(k) > b(k) si : 
15 + 7k > 74 - 3k 
10k > 59 
k > 5,9 

et comme k est dans N --> k = 6 

Soit en l'an 2000+6 = 2006 

a(5) = 50 
b(5) = 59 
a(6) = 57 
b(6) = 56