Réponses

2014-04-29T01:28:11+02:00
Exercice 68

Réaliser la figure en premier lieu.
Tu peux commencer par ces mesures :
Segment TS = 15 cm puis TR = 5 cm puis RM = 6cm puis MS= 4cm

Puis avec un compas ouvert à 5 cm tu piques sur le point R et tu traces (au-dessus) un premier arc de cercle
Puis avec le compas ouvert à 4 cm tu piques sur M et tu traces un deuxième arc de cercle. L'intersection de ces deux arcs de cercle sera le point N.
Vérifie que RN = 5 cm et NM = 4 cm

Pour tracer les bissectrices des angles NRM et NMR :
Compas : ouverture peu importe (moi j'ai pris 4 cm) tu piques sur R et tu traces sur RM un arc-repère et sur RN un autre arc-repère.
Tu piques successivement sur l'un des repères et tu traces (au-dessus) un arc de cercle puis sur l'autre arc-repères et tu traces un arc de cercle qui croise le précédent.
Tu rejoins le point R à l'intersection de ces deux arcs de cercle en traçant une demi-droite (d) avec une autre couleur (pour mieux t'y retrouver).

Tu fais exactement pareil avec le compas (moi j'ai ouvert à 3 cm) en piquant sur M pour tracer la bissectrice (d') dans la même couleur que la précédente.

Placer les points P et L
Tu traces [NT] et [NS] puis tu places le point P à l'intersection de (d') avec NT
Puis tu places le point L à l'intersection de la droite (d) avec NS.
Si tu as travaillé avec précision tout devrait être OK.
Vérifie que (d) est // à NT et que (d') est // à NS.

Pour la résolution du problème :
a) Angle NTR = Angle LRM
On a par construction (d) // (NT)  on peut en déduire que les angles LRM et NTR sont correspondants et par conséquent de même mesure.

b) Angle TNR = Angle NRL
On a par construction la droite (d) parallèle à (NT) alors les angles TNR et NRL sont alternes-internes [de part et d'autre de (NR)] par conséquent les angles TNR et NRL sont de même mesure.

c) (d) en tant que bissectrice de l'angle NRM on a Angle NRM = NRL + LRM qui sont de même mesure puisque la bissectrice partage NRM en deux angles égaux. Comme l'angle NTR (question a) et que l'angle TNR (question b) sont de même mesure, on peut en déduire que le triangle TRN est isocèle en R et que les côtés 
TR = RN  = 5 cm.

d) MS = MN
Par construction nous savons que la droite (d') est parallèle à NS d'où l'angle MNS et l'angle MSN sont deux angles correspondants, donc de même mesure. Ainsi le triangle NMS est isocèle en M avec deux côtés égaux issus de ce sommet donc  MS = MN = 4 cm.

e) Ainsi TS = TR + RM + MS
             TS = 5 cm + 6 cm + 4cm
             TS = 15 cm

Périmètre du triangle RMN = RM + MN + NR
P. de RMN = 6 cm + 4 cm + 5 cm
P. de RMN = 15 cm.

Conclusion : [TS] a la même mesure, 15 cm, que le périmètre du triangle RMN.