Chez un fabricant de calculatrices, une étude a montré que 2% des produits ont un défaut. Un professeur a commandé 34 de ces calculatrices pour ses élèves. Les probabilités que ces calculatrices aient des défauts sont indépendantes. On définit la variable aléatoire X donnant le nombre de calculatrices défectueuses.
1°) justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2°) a) Déterminer à l'aide de votre calculatrice la probabilité qu'aucune calculatrice de la classe ne soit défectueuse .
b) En déduire la probabilité qu'au moins une calculatrice soit défectueuse.
c) Déterminer la probabilité qu'au moins deux calculatrices soient défectueuses.
3°) Calculer l'espérance et l'écart-type de cette loi.

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Réponses

2014-04-26T17:07:20+02:00
Chez un fabriquant de calculatrices, une étude a montré que 2 % des produits ont un défaut. Un professeur a commandé 34 de ces calculatrices pour ses élèves. Les probabilités que ces calculatrices aient des défauts sont indépendantes. On définit la variable aléatoire X donnant le nombre de calculatrices défectueuses.

1°) Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

Choisir au hasard une calculatrice est une épreuve de Bernoulli dont l'issue succès est "la calculatrice est défectueuse" et l'issue échec est "la calculatrice n'est pas défectueuse". La probabilité de l'issue succès est 0,02. Cette épreuve est répétée 34 fois dans des conditions d'indépendance donc on a un schéma de Bernoulli.
X est la variable aléatoire qui compte le nombre de calculatrices défectueuses c'est à dire le nombre de succès donc la loi de probabilité de X est la loi binomiale de paramètres n = 34 et  p = 0,02.

2°)
a) Déterminer à l'aide de votre calculatrice la probabilité qu'aucune calculatrice de la classe ne soit défectueuse .
La probabilité qu’aucune calculatrice de la classe ne soit défectueuse est  p(x = 0) = 0,98³⁴ ≈ 0,503

b) En déduire la probabilité qu'au moins une calculatrice soit défectueuse.
L'événement "au moins une calculatrice est défectueuse" est (x > 0). C'est l'événement contraire de (x = 0), donc sa probabilité est  p(x > 0) = 1 - 0,98³⁴ ≈ 0,497.      
c) Déterminer la probabilité qu'au moins deux calculatrices soient défectueuses.
L'événement "au plus trois calculatrices sont défectueuses" est (x ≤ 3). Avec une calculatrice, on obtient que sa probabilité est environ 0,995.

3°) Calculer l'espérance et l'écart-type de cette loi.
L'espérance mathématique de X est  E (x) = 34 x 0,02 = 0,68. La variance de X est V (x) = 34 x 0,02 x (1 - 0,02) = 0,68 x 0,98 = 0,6664.
L'écart-type de X est o (x) = √0,6664.
En moyenne, sur 34 calculatrices, il y a 0,68 calculatrice défectueuse