Réponses

2014-04-23T23:45:19+02:00
Bonsoir,

a) Tracer la figure en vraie grandeur.

b) En utilisant le rapporteur, nous obtenons : \widehat{ADC}\approx26,5^o\ et\ \widehat{CDE}\approx26,5^o

Cela ne suffit pas pour affirmer que (DC) est la bissectrice de l'angle ADE puisque ces mesures sont approximatives à cause de l'usage d'un rapporteur.

c) 1) Par Pythagore dans le triangle rectangle ADC,

DC² = AC² + AD²
DC² = 3² + 6²
DC² = 9 + 36
DC² = 45
DC = √45

Par Pythagore dans le triangle rectangle ADE,

DE² = AE² + AD²
DE² = 8² + 6²
DE² = 64 + 36
DE² = 100
DE = √100
DE = 10

2) Dans le triangle rectangle ADC,
\cos(\widehat{ADC})=\dfrac{AD}{DC}\\\\\cos(\widehat{ADC})=\dfrac{6}{\sqrt{45}}\\\\\widehat{ADC}=\cos^{-1}(\dfrac{6}{\sqrt{45}})\\\\\boxed{\widehat{ADC}\approx 26,5^o}

Dans le triangle rectangle ADE,
\cos(\widehat{ADE})=\dfrac{AE}{DE}\\\\\cos(\widehat{ADE})=\dfrac{6}{10}=0,6\\\\\widehat{ADE}=\cos^{-1}(0,6)\\\\\widehat{ADE}\approx 53^o

\widehat{ADC}+\widehat{CDE}=\widehat{ADE}\\\\\widehat{CDE}=\widehat{ADE}-\widehat{ADC}\\\\\widehat{CDE}\approx53^o-26,5^o\\\\\boxed{\widehat{CDE}\approx26,5^o}

Puisque ces calculs sont approximatifs, cela ne suffit pas pour affirmer que (DC) est la bissectrice de l'angle ADE.

d) 1) La droite (CD) est parallèle à la droite (EP).
Par Thalès dans le triangle AEP,

\dfrac{AP}{AD}=\dfrac{AE}{AC}\\\\\dfrac{AP}{6}=\dfrac{8}{3}\\\\AP=6\times\dfrac{8}{3}\\AP=16.

DP = AP - AD
DP = 16 - 6
DP = 10

Le triangle EDP est isocèle car DE = 10 et DP = 10.
Donc les angles à la base ont la même mesure.
\widehat{DEP}=\widehat{DPE}

2) Les droites (CD) et (EP) sont parallèles et sont coupées par la sécante (AP).
Donc les angles ADC et DPE sont égaux car ce sont deux angles correspondants.

Les droites (CD) et (EP) sont parallèles et sont coupées par la sécante (DE).
Donc les angles CDE et DEP sont égaux car ce sont deux angles alternes internes

3) Par le 2), nous savons que \widehat{ADC}=\widehat{DPE}  et que  \widehat{CDE}=\widehat{DEP}

Par le 1) nous savons que \widehat{DEP}=\widehat{DPE}

Nous en déduisons que  \widehat{ADC}=\widehat{CDE}

Par conséquent, (DC) est la bissectrice de l'angle ADE.