Urrgeennnccce pour demain !!!
a, b et c sont dens nombres tels que : 0 1) demontrer que (ca-1)(bc-1)(ab-1)<0
2)deduire -de la 1ere question - que :
a+b+c+1/abc > 1/a+1/b+1/c+abc

Aidez svp c est pour demainnn
Et merci davance

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jai deja repondu a la premiere question il me reste la deuxieme --'

Réponses

Meilleure réponse !
2014-04-22T22:23:33+02:00
Bonsoir,

1) a,b,c\in]0;1[\Longrightarrow ab<1\ ;\ bc<1\ ;\ ca<1\\\\\Longrightarrow ab-1<01\ ;\ bc-1<0\ ;\ ca-1<0\\\\\Longrightarrow (ca-1)(bc-1)(ab-1)<0  
 
(produit de trois nombres négatifs)

2) Développons :

(ca-1)(bc-1)(ab-1)<0\\\\(abc^2-ac-bc+1)(ab-1)<0\\\\a^2b^2c^2-abc^2-a^2bc+ac-ab^2c+bc+ab-1<0\\\\a^2b^2c^2+ac+bc+ab<abc^2+a^2bc+ab^2c+1

Divisons les deux membres par abc qui est positif puisque a, b et c sont positifs)

\dfrac{a^2b^2c^2+ac+bc+ab}{abc}<\dfrac{abc^2+a^2bc+ab^2c+1}{abc}\\\\\dfrac{a^2b^2c^2}{abc}+\dfrac{ac}{abc}+\dfrac{bc}{abc}+\dfrac{ab}{abc}<\dfrac{abc^2}{abc}+\dfrac{a^2bc}{abc}+\dfrac{ab^2c}{abc}+\dfrac{1}{abc}\\\\abc+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}<c+a+b+\dfrac{1}{abc}

soit  

a+b+c+\dfrac{1}{abc} > \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+abc