Je n'arrive pas faire cet exercice que je doit rendre a la rentrée. Merci d'avance pour l'aide.

Une entreprise envisage deux emballages ayant la forme d'un carré (de côté: a×a×a ) et d'un rectangle (de côté: a×2×3 ). Est il possible de choisir "a" pour que la boite cubique ait une contenance supérieure a l'autre tout en utilisant moins de carton pour sa fabrication ?
Si oui donner toutes les valeurs possible de "a".

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Réponses

2014-04-23T09:51:40+02:00
Le volume de la boîte cubique est a³
Le volume de la boîte rectangulaire est 2x3xa=6a
On veut donc que a³≥6a
La surface de carton de la boîte cubique est 6a² (6 faces de a²)
La surface de carton de la boîte rectangulaire est 2(2x3+2xa+3xa)=12+10a
On veut donc que 6a²≤12+10a

On a donc le système d'inéquation :
a³≥6a
6a²-10a-12≤0

a³≥6a ⇔ a³-6a≥0 ⇔ a(a²-6)≥0 ⇔ a(a+ \sqrt{6} )(a- \sqrt{6} )≥0
Or a≥0 et a+ \sqrt{6} ≥0 quelque soit a (puisque a est une longueur
Donc le signe de a(a+ \sqrt{6} )(a- \sqrt{6} ) dépend de
a- \sqrt{6}
Donc a³≥6a ⇔ a≥ \sqrt{6} ≈ 2,449

Or si a =2,44 ⇒ 6a²-10a-12≈-0,339 <0
si a=2,45 ⇒ 6a²-10a-12≈-0,243 <0
si a=248 ⇒ 6a²-10-12≈0,051 >0

Donc c'est possible.
Il faut résoudre l'équation 6a²-10a-12=0 soit 3a²-5a-6=0
Δ=(-5)²-4*3*(-6)=25+72=97
Donc les 2 solutions sont :
x1= \frac{5- \sqrt{97} }{6}  \leq 0
et
x2= \frac{5+ \sqrt{97} }{6} ≈ 2,475

Donc c'est possible pour a tel que :
 \sqrt{6}  \leq a \leq  \frac{5+ \sqrt{97} }{6}