Des Flèches ABCD est un carré de 5cm de côté. Le point M appartient au segment [BC] et le point N au segment [CD] tels que BM = DN. P est le point tel que MCNP soit un carré. Le polygone AMPN est une "flèche". Soit x la mesure en cm de BM=DN. 1.Exprimer en fonction de x les aires du carré CNPM et des triangles ABM et AND (en cm²). 2.En déduire k'aire A(x) de la flèche est donnée par A(x)=-(x²+5x pour x appartient à [0;5 ]. 3. Montrer que A(x)=-(x-5/2)²+25/4. 4.Déterminer le sens de variation de la fonction A et dresser le tableau de variation. 5. Déterminer ou placer M pour que la flèche ait pour aire 5.25 cm². J'ai réussi les 2 première question mais après je bloque totalement... Est ce que quelqu'un pourrait m'aider ?

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Réponses

2014-04-17T14:23:06+02:00
1) L'aire de CNPM est (5-x)²
L'aire des triangles ABM et ADN est 5x/2

2) A(x)=25-(5-x)²-5x/2-5x/2=25-25+10x-x²-5x=5x-x²

3) A(x)=5x-x²
A(x)=-(x²-5x)
A(x)=-(x-2*5/2*x+25/4-25/4)
A(x)=-((x-5/2)²-25/4)
A(x)=25/4-(x-5/2)²

4)
Sur [0;5/2] :
Soit a et b ∈ [0;5/2] tel que a<b
Donc a-5/2<b-5/2<0
La fonction carré est décroissante sur R- donc :
(b-5/2)²<(a-5/2)²
⇔-(a-5/2)²<-(b-5/2)²
⇔25/4-(a-5/2)²<25/4-(b-5/2)²
⇔A(a)<A(b)
Donc a<b ⇒ A(a)<A(b) sur [0;5/2] donc A est croissante sur [0;5/2]

Sur [5/2;5] :
Soit a et b ∈ [5/2;5] tel que a<b
Donc 0<a-5/2<b-5/2
La fonction carré est croissante sur R+ donc :
(a-5/2)²<(b-5/2)²
⇔-(b-5/2)²<-(a-5/2)²
⇔25/4-(b-5/2)²<25/4-(a-5/2)²
⇔A(b)<A(a)
Donc a<b ⇒ A(b)<A(a) sur [5/2;5] donc A est décroissante sur [5/2;5]

5) On cherche x tel que A(x)=5,25
⇔5x-x²=5,25
⇔x²-5x+5,25=0
⇔x²-1,5x-3,5x+5,25=0
⇔x(x-1,5)-3,5x+3,5*1,5=0
⇔x(x-1,5)-3,5(x-1,5)=0
⇔(x-1,5)(x-3,5)=0
⇔x-1,5=0 ou x-3,5=0
⇔x=1,5 ou x=3,5

Donc M est tel que BM=1,5 ou BM=3,5