ABCD est un carré de côté 10cm. M est un point de [AB].

La parallèle à [AD] passant par M coupe [AC] en I et [CD] en P.

La parallèle à (AB) en I coupe [BC] en N et [AD] en Q.

On souhaite determiner la position de M sur AB de façon que l'aire de INCP soit inférieure à 25cmª.

On pose x=AM

1. A quel intervalle appartient la variable x ?

2. Quelles sont les natures des quadrilatères AMIQ et INCP ?

3. Montrer que le problème se ramène à résoudre l'inéquation: xª-20x+75<0

4. Montrer que xª-20x+75= (x-5) (x-15).

5. Réoudre l'inéquation , conclure.

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Réponses

2014-04-16T15:59:08+02:00
1) x∈[0;10] puisque M est sur AB=10cm

2) AMIQ et INCP sont des carrés

3) QN=QI+IN=AM+MB=AB donc IN=AB-QI=AB-AM=10-x
INCP est un carré de côté 10-x
Son aire est (10-x)²
On veut que cette aire soit <25 donc (10-x)²<25
100-20x+x²<25
x²-20x+75<0

4) x²-20x+75=x²-5x-15x+75=x(x-5)-15(x-5)=(x-5)(x-15)

5) (x-5)(x-15)<0
Comme x∈[0;10] x-15 est toujours négatif sur [0;10]
Donc pour que (x-5)(x-15)<0 il faut que x-5>0 soit x>5
Donc la solution de l'inéquation est [5;10]