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2014-04-14T01:20:21+02:00
Le secret en maths ce sont les formules, j'espère que tu auras le temps de les apprendre par coeur de chez par coeur pour ton contrôle noté et la magie opérera !

Lors d’un agrandissement ou d'une réduction, le volume n’augmente ou ne diminue pas de la même façon que les longueurs.
Si les longueurs d’une figure sont multipliées par un nombre k (positif), alors l'aire est multipliée par k² et le volume est multiplié par k³

EXERCICE n° 1

1) Si le coefficient de réduction = 0,4
d'où 
k =\frac{4}{10}
Formule
Volume réduit = Volume grand cône × k³
Donc on a multiplié le volume par  \frac{ 4^{3}}{10^{3} }  \frac{64}{1000}

2) coefficient d'agrandissement pour une longueur, k =  \frac{10}{4} = 2,5
Coefficient pour le volume =  \frac{10^{3} }{4^{3} } , k³ = 2,5³
 Volume du grand cône : 16 cm³ × 2,5³ = 250 cm³
Le volume du grand cône est de 250 cm³

3) Coefficient d'agrandissement pour une aire, k² = 2,5²
Aire du grand cône = aire du petit cône × 2,5²

EXERCICE n° 2

Lorsque l’on coupe une pyramide par un plan parallèle à la base on obtient une petite pyramide qui est une réduction de la grande pyramide.
Coefficient de réduction k :
 \frac{SH}{SD} = \frac{SG}{SC} = \frac{SF}{SB} = \frac{SE}{SA} =  \frac{4,5}{6}
d'où k \frac{4,5}{6} = 0,75

Calcul de l'aire de la base de la grande pyramide :
Aire de la base de la grande pyramide : 4,5 × 3 = 13,5 cm²
L'aire de la grande pyramide est de 13,5 cm²

Calcul de l'aire de la petite pyramide avec le coefficient k²
Aire de la base de la petite pyramide : 13,5 ×  \frac{4,5^2}{6^2}
A = 13,5 ×  \frac{20,25}{36} = 7,6 cm²
L'aire de la petite pyramide est de 7,6 cm²

Pour calculer le volume il est nécessaire de connaître la hauteur SO de la pyramide
Pour ce faire, on va d'abord calculer la diagonale du rectangle de la base :
Formule : Diagonale d'un rectangle = \sqrt{L^2 * l^2}
Diagonale = \sqrt{4,5^{2}*3^{2}}
D =  \sqrt{29,25} = 5,4 cm
Les diagonales du rectangle ABCD mesurent chacune 5,4 cm

Dans un rectangle les diagonales se croisent en leur milieu que l'on appellera O.
d'où OH = 5,4 /2 = 2,7 cm
La mesure de OH est de 2,7 cm

Pour calculer SO, on utilise le théorème de Pythagore puisque nous sommes en configuration de triangleSOH rectangle en O
SH² = SO² + OH²
6² = SO² + 2,7²
36 = SO² + 7,3
36 - 7,3 = SO²
28,7 = SO²
 \sqrt{28,7} = SO
5,35 = SO
La hauteur SO mesure 5,35 cm

Formule du volume d'une pyramide =  \frac{1}{3}  × aire de la base × h 

Volume de la grande pyramide =  \frac{1}{3}  × 13,5 × 5,35 = 24,075 cm³

Calcul du volume de la petite pyramide avec le coefficient de réduction k³
K³ =  \frac{4,5^3}{6^3}
Volume de la petite pyramide : 24,075 ×  \frac{4,5^{3} }{6^{3} }
V = 24,075 ×  \frac{91,125}{216} = 11,42 cm³

La grande pyramide SABCD a un volume de 24,075 cm³ et le volume de la petite pyramide SHEFG est de 11,42 cm³

EXERCICE n° 3

Données :
OA = rayon = 6 cm
génératrice [SA] = 10 cm

Résolution :
Calcul de la hauteur SO avec le théorème de Pythagore puisque SOA est un triangle rectangle en O.
SA² = OA² + SO²
10² = 6² + SO²
100 = 36 + SO²
100 - 36 = SO²
64 = SO²
 \sqrt{64} = SO
8 = SO
La mesure de la hauteur SO est de 8 cm.

2) Calcul de l'angle ASO avec la trigonométrie
formule : Tan = Côté opposé / côté adjacent
tan angle S =  \frac{OA}{SO}
Tan angle S = 0,75
Avec la calculatrice on calcule la valeur de l'angle ASO (0.75 x tan^{-1} )
Angle S ≈ 36°

3) Formule du volume d'un cône =  \frac{1}{3}  × aire de la Base × hauteur
Calcul de l'aire de la base =  \pi  × Rayon²
Aire base du cône =   \pi  × 6²
A = 36 \pi
L'aire exacte de la base du cône est de 36 \pi

Volume du cône :  \frac{1}{3}  × 36 \pi  × 8
V = 96 \pi
Le volume du cône est de 96 \pi

4)Calculer le coefficient de réduction puis en déduire le volume du tronc de cône
a) SO = 8 cm la demi hauteur est donc égale à SO/2 = 4 cm 
Coefficient de réduction est k =  \frac{4}{8} = 0,5

b) Le coefficient de réduction pour un volume est k³
K³ =  \frac{4^{3} }{8^{3} }
Volume du petit cône = 96 \pi  ×  \frac{4^{3} }{8^{3}} 
V = 96 \pi  ×  \frac{64}{512}  \frac{6144}{512}  \pi
V = 12 \pi
Le volume exact du tronc de cône est effectivement 12 \pi