Bjr vous pourriez m'aider si vous arrivez pas c'est pas grave.
soit ABCD un parallelogramme,E et F deux points comme ci-dessous.
1)montre que EBA=90°
2)montre que FAB=90°
3)quelle est la nature de FABE ?
4) montre que AF=BE
5)montre que BDE=ACF
6)deduis en que FAC=EBD
7)deduis de ce qui precede que FC=ED
8)exprime l'aire du triangle FCA a l'aide de FC et FA
9)exprime l'aire du triangle EBD a l'aide de ED et EB
10)deduis en que les triangles FCA et EBD ont la même aire
11)exprime l'aire de AFEB a l'aide de AB et AF
12)quelle relation lie l'aire de AFEB avec l'aire de FAC et l'aire de ABEC ?
13)quelle relation lie l'aire de ABDC avec l'aire de EBD et la l'aire de ABEC ?
14) deduis en que AFEB et ABCD ont la meme aire
15)exprime alors l'aire du parallelogramme ABDC

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Réponses

Meilleure réponse !
2014-04-12T00:30:24+02:00
Bonsoir,

1) Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
Les droites (CD) et (AB) sont parallèles car ABCD est un parallélogramme.
La droite (EB) est perpendiculaire à la droite (CD) (par construction)
D'où la droite (EB) est perpendiculaire à la droite (AB).
Par conséquent l'angle EBA = 90°

2) Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
Les droites (CD) et (AB) sont parallèles car ABCD est un parallélogramme.
La droite (FA) est perpendiculaire à la droite (CD) (par construction)
D'où la droite (FA) est perpendiculaire à la droite (AB).
Par conséquent l'angle FAB = 90°

3) Le quadrilatère FABE possède 4 angles droits (EFA, FAB, ABE et BEF).
C'est donc un rectangle.

4) FABE est un rectangle ===> ses côtés opposés ont la même longueur, et en particulier les côtés [AF] et [BE].
Par conséquent, AF = BE.

5) Les droites (AC) et (BD) sont parallèles et sont coupées par la droite (FD) respectivement en C et en D.
D'où les angles BDE et ACF sont des angles correspondants.
Or des angles correspondants ont la même mesure.
Par conséquent :  \widehat{BDE}=\widehat{ACF}

6) La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°

Dans le triangle FAC, 

\widehat{AFC}+\widehat{ACF}+\widehat{FAC}=180^o\\\\90^o+\widehat{ACF}+\widehat{FAC}=180^o\\\\\widehat{FAC}=180^o-90^o-\widehat{ACF}\\\\\boxed{\widehat{FAC}=90^o-\widehat{ACF}}

Dans le triangle DEB, 

\widehat{DEB}+\widehat{BDE}+\widehat{EBD}=180^o\\\\90^o+\widehat{BDE}+\widehat{EBD}=180^o\\\\\widehat{EBD}=180^o-90^o-\widehat{BDE}\\\\\boxed{\widehat{EBD}=90^o-\widehat{BDE}}

Or nous avons montré dans la question 5 que   \widehat{BDE}=\widehat{ACF}.

Donc \widehat{FAC}=90^o-\widehat{ACF}  et   \widehat{EBD}=90^o-\widehat{BDE}=90^o-\widehat{ACF}

Par conséquent,  \widehat{FAC}=\widehat{EBD}

7) Les triangles CFA et DEB sont isométriques (égaux) car ils ont un côté égal compris entre deux angles égaux.
En effet : AC = BD (car  ABCD est un parallélogramme)
               Angle FEC = angle EBD (voir point 6)
               Angle ACF = angle BDE (voir point 5).

Puisque ces triangles CFA et DEB sont isométriques, nous en déduisons que FC = ED.

8) Aire (FCA) = (1/2) x Base x hauteur
                      = (1/2) x FC x FA

9) Aire (EBD) = (1/2) x Base x hauteur
                      = (1/2) x ED x EB

10) On sait que FC = ED (voir point 7) 
                         FA = EB (voir point 4)
Par conséquent, Aire (FCA) = Aire (EBD)

11) Aire (AFEB) = Longueur x largeur
                          = AB x AF

12) Aire (AFEB) = Aire (FAC) + Aire (ABEC)

13) Aire (ABCD) = Aire (EBD) + Aire (ABEC)

14) Aire (FAC) = Aire (EBD) (voir point 10)

D'où Aire (AFEB) = Aire (ABCD)

15) Puisque Aire (AFEB) = AB x AF (voir point 11), nous en déduisons que Aire (ABCD) = AB x AF.