2 fleuristes doivent livrer des compositions florales constituées uniquement de fleurs jaunes et blanches, avec la condition suivante, la couleur de chaque fleur doit être choisie au hasard, avec une même probabilité d'avoir une fleur jaune qu'une fleur blanche
Le 1er fleuriste livre une composition de 100 fleurs dont 43 jaunes. Le 2ème livre une composition de 2500 fleurs dont 1150 jaunes.
1/ Calculer, dans chaque cas la proportion de fleurs jaunes et la taille de l'échantillon. A 1ère vue, lequel des 2 fleuristes a le mieux respecté le contrat ?
2/Calculer l'intervalle de fluctuation dans chacun des deux cas. Conclure à partir de la marge de 95%

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Réponses

2014-04-10T23:59:25+02:00
Bonsoir,

1) Premier fleuriste :
La taille de l'échantillon est n = 100
La proportion de fleurs jaunes est égale à 43/100

Deuxième fleuriste :
La taille de l'échantillon est n = 2500 
La proportion de fleurs jaunes est égale à 1150/2500 =46/100.

A première vue, le second fleuriste a le mieux respecté le contrat puisqu'il se rapproche le plus de 50/100 (car la couleur de chaque fleur doit être choisie au hasard, avec une même probabilité d'avoir une fleur jaune qu'une fleur blanche, soit p = 0,50).

2) L'intervalle de fluctuation est  
[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}};p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}]

Pour le 1er fleuriste, cet intervalle est égal à   [0,50-\dfrac{1}{\sqrt{100}};0,50+\dfrac{1}{\sqrt{100}}]=[0,50-\dfrac{1}{10};0,50+\dfrac{1}{10}]\\\\=[0,50-0,10;0,50+0,10]\\\\=[0,40;0,60]

L'intervalle de fluctuation est  [p-\dfrac{1}{\sqrt{n}};p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}]

Pour le 2ème fleuriste, cet intervalle est égal à   [0,50-\dfrac{1}{\sqrt{2500}};0,50+\dfrac{1}{\sqrt{2500}}]=[0,50-\dfrac{1}{50};0,50+\dfrac{1}{50}]\\\\=[0,50-0,02;0,50+0,02]\\\\=[0,48;0,52]

L'impression relevée dans la question 1 ne se vérifie pas avec un risque de 5 % pour le 2ème fleuriste, puisque la fréquence observée (46/100) n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation.
0,46 ∉ [0,48 ; 0,52]