Bonjour

j'ai un urgent besoin d'aide dans mon devoir en algebre linéaire (matrices) je ne sais meme pas ou commencer :(

Merci de votre aide!

Soit la matrice M = 1 1
1 0


Posons Lambda = (1 – racine de 5) divisé par 2

Considérons l'ensemble des vecteurs colonnes X ayant la propriété que MX = lambdaX et appelons le E

A) Vérifier que le vecteur colonne lambda, 1 appartient à l’ensemble E
B) Vérifier que l’ensemble E est un sous espace de R2c en vérifiant que les 3 conditions requises de la définition soient satisfaites
- 0 appartient au sous espace
- Pour tout u,v appartenant au sous espace, on a u + v appartient au sous-espace
- Pour tout u appartenant au sous espace, et c appartenant aux réels, on a que cu appartient au sous espace

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Réponses

Meilleure réponse !
  • Utilisateur Brainly
2012-11-10T21:07:22+01:00

A)Calculons le produit de M par le vecteur \left( \begin{array}{c} lambda \\ 1 \end{array} \right).

 

MX=\left( \begin{array}{cc} 1&1 \\ 1&0 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} lambda \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} lambda +1 \\ lambda+0 \end{array} \right)\\</p>&#10;<p>=lambda\left( \begin{array}{c} 1+1/lambda \\ 1end{array} \right)

 

Or, lambda est une solution de x^2-x-1=0, ce qui signifie que lambda=1+1/lambda.

 

Donc MX=lambda\left( \begin{array}{c} lambda \\1 \end{array} \right)

 

Et on a montré que \left( \begin{array}{c} lambda \\ 1 \end{array} \right) vérifie la propriété, donc appartient à l'ensemble E.

 

B) 0 est ici le vecteur vertical \left( \begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array} \right)

 

On a bien: M*0=0=lambda*0

 

u appartient à E entraine : Mu=lambda*u

v appartient à E entraine : Mv=lambda*v

 

De plus, la multiplication d'une matrice par un vecteur est distributive: M(X+Y)=MX+MY

Donc: M(u+v)=Mu+Mv=lambda*u+lambda*v=lambda(u+v)

=> u+v appartient à E

 

M(cu)=c*Mu=c*lambda*u=lambda*(cu)

 

Donc cu appartient à E.