Réponses

2014-04-07T16:45:18+02:00
Proposition de solution pour le DEUXIEME problème

1) Quelle semble être la nature du quadrilatère ABCD ?
Le quadrilatère semble être un parallélogramme.

2) Démontrer que le quadrilatère est un parallélogramme et démontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Dans le triangle SRT, B est milieu du segment [ST] et A est milieu du segment [RT]. D'après le théorème de la droite des milieux, les droites (RT) et (AB) sont parallèles et  AB =  \frac{RT}{2} .

De même dans le triangle RUT, D est milieu du segment [RU] et C est milieu du segment [UT]. D'après le théorème de la droite des milieux :
Les droites (SU) et (CB) sont parallèles et BC =  \frac{SU}{2} .
Les droites (TR) et (CD) sont parallèles et CD =  \frac{TR}{2}  ;
Les droites (US) et (DA) sont parallèles et DA =  \frac{US}{2} .

On peut tirer des étapes précédentes que les droites (AB) et (DC) sont parallèles puisque toutes les deux sont parallèles à une même droite (RT).
Il en va de même, pour les droites (BC) et (DA) qui sont parallèles entres elles puisque toutes les deux sont parallèles à une même droite (SU).

Conclusion : ABCD est effectivement un parallélogramme, ses côtés opposés sont parallèles.

B) Démontrer que AB = DC
Par définition, un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés égaux, par conséquent AB = DC et AD = BC

Conjecture : Si ABCD est un rectangle, alors les droites (RT) et (SU) sont perpendiculaires.
D'après la démo précédente, les droites (RT) et (AB) sont parallèles, donc les droites (RT) et (BC) seraient perpendiculaires.
Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.

De même, d'après la démo précédente, les droites (SU) et (BC) sont parallèles, donc les droites (RT) et (SU) seraient perpendiculaires
Si deux droites sont parallèles(entre elles) alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. 

Donc si ABCD est un rectangle, alors les diagonales du quadrilatère RSTU sont perpendiculaires et réciproquement, si les diagonales du quadrilatère RSTU sont perpendiculaires, alors les droites (RT) et (SU) sont perpendiculaires.

Or, d'après la démo du 2), les droites (RT) et (AB) sont parallèles, et comme les droites (RT) et (SU) sont perpendiculaires, il advient que les droites (AB) et (SU) sont perpendiculaires
Si deux droites sont parallèles(entre elles) alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. 

Ensuite, d'après la démo du 2), les droites (SU) et (BC) sont parallèles, et comme les droites (AB) et (SU) sont perpendiculaires, il advient que les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires
Si deux droites sont parallèles(entre elles) alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. 

C) Le parallélogramme ABCD (d'après ce qui a été démontré à la question du 2)) a donc deux côtés perpendiculaires et est, par conséquent, un rectangle. 
Propriétés du rectangle démontrées :
Un quadrilatère est un rectangle si ses côtés opposés sont parallèles.
Un quadrilatère est un rectangle si des côtés opposés sont de même longueur.