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2014-04-06T12:55:39+02:00
Bonjour,

Soit ABC le triangle dont tu parles. On note H le pied de la hauteur issue de A. Soit a la longueur du côté de ce triangle (on a a = AB = BA = AC).

Comme, dans un triangle équilatéral, les droites remarquables sont confondues, (AH) est également la médiane issue de A. Donc H est le milieu de [BC].
Comme ABH est rectangle en H, on a :
AH = AB\times \sin \widehat{ABC} = a \times \sin \frac \pi 3 = \frac{\sqrt 3 a }{2}

L'aire du triangle est égale à
\frac{AH\times BC}{2} = \frac 12 \times a \times \frac{\sqrt 3 a}{2} = \frac{\sqrt 3 a^2}{4} = 12\sqrt 3

On a alors
\frac{\sqrt 3 a^2}{4} = 12\sqrt 3\\
\sqrt 3 a^2 = 48\sqrt 3\\
a^2 = 48\\
a = \sqrt{48} = 4\sqrt 3

On a alors :
AH = \frac{\sqrt 3 a}{2} = 6

Comme les droites remarquables d'un triangle équilatéral sont confondues, le centre du cercle circonscrit à ce triangle est également son centre de gravité, qui est situé aux 2/3 de chaque médiane en partant du sommet. On note Ω ce point, qui se trouve sur [AH], on a alors
A\Omega = \frac 23 AH = \frac 23 \times 6 = 4

Donc le rayon du cercle circonscrit est 4.

Si tu as des questions, n'hésite pas ! =)