Bonsoir à tous,
Ma prof' de maths m'a donné un DM à faire du jour au lendemain : ils se composent de deux exercices...J'ai fait le 1er sans difficultés, je suis plutôt bon en maths.Seulement le deuxieme exercice est comment dire ? O_O Super dur !
Je vous l'expose :

"Au XVIIeme siècle, un jeu à la cour du Grand Duc de Toscane consistait à lancer 3 dés et à totaliser les points obtenus. Grand joueur de dés, le Grand Duc avait observé que la somme 10 était obtenue plus souvent que la somme 9.

a. Ecris, de toute les façons possibles, 10 et 9 comme sommes de trois entiers compris entre 1 et 6.Explique alors pourquoi le Grand Duc pouvait être surpris de son observation.

b. Vérifie, à l'aide d'un tableur, l'observation précédente en simulant 500 lancers de trois dés équilibrés.

c. Pour expliquer ces résultats, schématise les différentes possibilités avec un arbre en considérant qu'on lance un dé équilibré trois fois de suite. Quelle est alors la probabilité d'obtenir une somme égale à 9? Et à 10?

d. Combien de fois obtient-on la somme 3 + 3 + 3? Et la somme 5+2+2? Explique alors le paradoxe, comme l'a fait Galilée à son époque au Grand Duc.

En espérant que vous puissiez m'aider, merci.


1

Réponses

Meilleure réponse !
2014-04-02T23:49:47+02:00
Bonsoir,

a) 6 + 3 + 1 = 10 
6 + 2 + 2 = 10
5 + 4 + 1 = 10 
5 + 3 + 2 = 10
4 + 4 + 2 = 10 
4 + 3 + 3 = 10

6 + 2 + 1 = 9
5 + 3 + 1 = 9 
5 + 2 + 2 = 9 
4 + 4 + 1 = 9 
4 + 3 + 2 = 9 
3 + 3 + 3 = 9

Le Grand Duc avait alors remarqué que le nombre de possibilités était le même pour une somme égale à 9 que pour une somme égale à 10 puisque ce nombre est égal à 6 dans les deux cas.
D'où sa surprise en voyant que la somme 10 était obtenue plus souvent que la somme 9 en jetant les 3 dés.

b) A l'aide d'un tableur, nous constatons que la somme 10 est plus fréquente que la somme 9.
Dans les cellule A1, B1 et C1, écrire la formule
=ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) pour obtenir un nombre aléatoire tel que 1 soit le minimum et 6 le maximum.
Dans la cellule D1, écrire =A1+B1+C1 pour calculer la somme des 3 résultats.
Recopier les cellules A1, B1, C1 et D1 depuis les cellules A2, B2, C2 et D2 jusqu'aux cellules A500, B500, C500 et D500
Dans la celllue D503, écrire la formule =NB.SI(D1:D500;"9") pour déterminer le nombre de fois que 9 apparaît parmi les sommes.
Dans la celllue D503, écrire la formule =NB.SI(D1:D500;"10") pour déterminer de fois que 10 apparaît parmi les sommes.

Nous constatons que la somme 10 est obtenue plus souvent que la somme 9 en jetant les 3 dés.

c) Arbre en pièce jointe.

Nous voyons qu'il y a 6 * 6 * 6 = 216 possibilités au total.

Pour obtenir une somme égale à 9, il y a 25 possibilités :

6 possibilités avec les chiffres 6, 2 et 1 
6 possibilités avec les chiffres 5, 3 et 1
3 possibilités avec les chiffres 5, 2 et 2 
3 possibilités avec les chiffres 4, 4 et 1 
6 possibilités avec les chiffres 4, 3 et 2 
1 possibilité avec les chiffres 3, 3 et 3

La probabilité d'obtenir 9 est égal à 25/216 ≈ 0,11574

Pour obtenir une somme égale à 10, il y a 27 possibilités :

6 possibilités avec les chiffres 6, 3 et 1 
3 possibilités avec les chiffres 6, 2 et 2
6 possibilités avec les chiffres 5, 4 et 1 
6 possibilités avec les chiffres 5, 3 et 2 
3 possibilités avec les chiffres 4, 4 et 2 
3 possibilités avec les chiffres 4, 3 et 3

La probabilité d'obtenir 10 est égal à 27/216 = 0,125.

d) La somme 3 + 3 + 3 n'est obtenue qu'une seule fois.
La somme 5 + 2 + 2 est obtenue 3 fois.

Galilée avait remarque que si les chiffres étaient tous différents, un même total pouvait être obtenu de  6 manières différentes.
Si un même chiffre était présent deux fois dans la somme, un même total pouvait être obtenu 3 fois.
Et un même nombre était écrit 3 fois, il n'y avait qu'une seule possibilité pour obtenir le total.
A partir de cette constatation, on peut ainsi faire un tableau analogue aux deux tableaux que nous avons réalisés dans la partie c).
Cela explique donc le paradoxe que le Duc avait émis dans la partie a.