Réponses

Meilleure réponse !
2014-04-02T21:37:15+02:00
Bonsoir,

a) Le triangle AMB est rectangle en M car il est inscrit dans un cercle dont le diamètre est [AB].

b) La diamètre est AB = √8 cm = √(4*2) cm = √4*√2 cm = 2√2 cm.
La mesure du rayon OB est donc égale à AB/2 = (2√2)/2 = √2 cm.

c) Le triangle MOB est équilatéral ==> MB =  OM = OB = √2

Par Pythagore dans le triangle rectangle AMB, 

AM² + MB² = AB²
AM² + (√2)² = (√8)²
AM² + 2 = 8
AM² = 8 - 2
AM² = 6
AM = √6

d) Le triangle MOB est équilatéral ==> ses trois angles ont la même mesure.
Or la somme des mesures d'un triangle est égale à 180°.
Par conséquent, l'angle MOB mesure 180° / 3 = 60°.

Les angles AOM et MOB sont supplémentaires (leur somme mesure 180°)
AOM + MOB = 180°
AOM + 60° = 180°
AOM = 180° - 60°
AOM = 120°

e) AMO + OMB = AMB
AMO + 60° = 90°
AMO = 90° - 60°
AMO = 30°

AOC + AOM = 180°
AOC + 120° = 180°
AOC = 180° - 120°
AOC = 60°

Dans le triangle rectangle CAO, 
ACO +CAO + AOC = 180°
ACO + 90° + 60° = 180°
ACO = 180° - 90° - 30°
ACO = 30°.

Par conséquent, le triangle AMC est isocèle en A puisqu'il possède deux angles de même mesure (AMO = ACO = 30°)

D'où, les côtés [AC] et [AM] ont le même longueur.
Or AM = √6
Par conséquent, AC = √6 cm.

f) Dans le triangle rectangle CAO, 
AC = √6  ;  AO = √2 (rayon du cercle)

Par Pythagore, OC² = AC² + AO²
OC² = (√6)² + (√2)²
OC² = 6 + 2
OC² = 8
OC = √8

Par Pythagore dans le triangle rectangle CAB,

CB² = AC² + AB²
CB² = (√6)² + (√8)²
CB² = 6 + 8
CB² = 14
CB = √14

g) L'aire du quadrilatère AMBC est égale à la somme des aires des triangles AMB et CAB.

Aire du triangle AMB = (1/2) * AM * MB
                               = (1/2) * √6 * √2
                               = (1/2) * √12
                               = (1/2) * √4*3
                               = (1/2) * √4*√3
                               = (1/2) * 2√3
                               = √3 cm²

Aire du triangle CAB = (1/2) * AC * AB
                               = (1/2) * √6 * √8
                               = (1/2) * √6 * 2√2
                               = √6 * √2
                               = √12
                               = √4*3
                               = √4 *√3
                               = 2√3  cm²

D'où l'aire du quadrilatère AMBC = √3 + 2√3 cm²
                                                = 3√3 cm²