Les diagonales d u losange mesurent6 racinede3 et 10 racine de5 pour calculer l aire de ce losange ainsi que son preimetre un eleve a realise ce brouillon a partir de celui ci donne la version redigee
aire 3 racine de 3 *5 racine de 5 divise par 2 *4 est egale 30 racine de 15
perimetre ab carre egale 27+125egale 152
abegale2 racine de 38*4 d ou perimetreest 8racine de 38

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Réponses

2014-03-28T23:28:20+01:00
Bonsoir,

Voici le raisonnement de l'élève.

Soit le losange ABCD.
       la diagonale [AC] telle que AC = 6√3
       la diagonale [BD] telle que BD = 10√5

Les diagonales d'un losange se coupent perpendiculairement en leurs milieux.
Si nous notons 0 le point d'intersection des diagonales,
alors AO = (1/2)*AC = (1/2) * 6√3 = 3√3
BO = (1/2)*AD = (1/2) * 10√5 = 5√5

Les diagonales partage le losange en 4 triangles rectangles égaux.
L'élève calcule d'abord l'aire d'un de ces triangles et choisit par exemple le triangle rectangle AOB.

Aire du triangle AOB = (1/2) AO * OB
                               = (1/2) 3√3 * 5√5
                               = \dfrac{3\sqrt{3}\times5\sqrt{5}}{2}

Ensuite, pour calculer l'aire du losange, il multipliepar 4 l'aire du triangle AOB.

D'où sa réponse : aire du losange = \dfrac{3\sqrt{3}\times5\sqrt{5}}{2}\times4=\dfrac{3\sqrt{3}\times5\sqrt{5}}{1}\times2=3\sqrt{3}\times5\sqrt{5}\times2\\\\\\= (3\times5\times2)\times(\sqrt{3}\times\sqrt{5})\\\\\\=30\sqrt{15}

Le périmètre d'un losange est égal à 4 fois la longueur d'un de ses côtés.

L'élève a d'abord calculé la longueur du côté [AB] en utilisant Pythagore dans le triangle rectangle AOB.

AB² = AO² + OB²
      = (3√3)² + (5√5)²
      = 3²(√3)² + 5²(√5)²
      = 9*3 + 25* 5
      = 27 + 125
      = 152

AB = √152
     = √(4*38)
     = √4 * √38
     = 2√38

L'aire du losange est égale à 4 * AB = 4 * 2√8
                                                     = 8√8.