Je ne suis pas douée en géométrie et là je cale royalement.

Pat Damande, confiseur de son état, utilise une boîte de forme nouvelle pour emballer des chocolats. Cette boîte a la forme d'un solide SABCDEFGH à neuf faces qui se compose d'un cube d'arête 12cm et d'une pyramide régulière SABCD de sommet S. On note O le centre du carré ABCD et I le milieu du segment [BC].

Partie A
Dans cette partie on suppose que SO=6cm

1. On admet que le triangle SOI est rectangle en O.
a) Quelle est la longueur du segment [OI] ?

b)Démontreer que la longueur SI vaut 6√2 cm

2. Calcul de l'aire de la boîte
a) justifier que [SI] est perpendiculaire à [BC]

b) En déduire la aleur exacte de l'aire du triangle SBC puis la valeur exacte de l'aire des faces latérales de la pyramide SABCD.

c) Calculer la valeur exacte de l'aire totale des faces du solide SABCDEFGH puis en donner un arrondi au centième.

Partie B

Dans cette partie on note x la longueur SO exprimée en cm.

1. Exprimer le volume V du solide SABCDEFGH en fonction de x.

2. Calculer le volume du solide pour x valant 13,5.

3. Pat souhaite lque le volume de sa boîte soit égal à 2246,4 cm³. Déterminer la valeur de x pour laquelle cette condition est remplie.

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Réponses

2014-03-27T15:47:56+01:00
En fichier joint un schéma de la dite boite.

Partie A
SO = 6 cm
1.
a) Dans le triangle aBC, O est le milieu de [AC] et I milieu de [BC] donc OI= AB/2
OI = 12/2 = 6 cm

b) Le triangle SOI est rectangle en O donc d'après le théorème de Pythagore :
SI² = SO² + OI²
SI² = 6² + 6²
SI² = 36 + 36
SI² = 2*36
d'où
SI = v(2*36)
SI = 6V2

2. a) (SI) est la médiane du triangle BSC isocèle en S. Or dans un triangle isocèle, la mèdiane issue du sommet principal est aussi médiatrice, hauteur et bissectrice, donc (SI) est perpendiculaire à [BC].

b) aire du triangle SBC
Aire d'un triangle = Base * hauteur / 2
A(sbc) = BC *SI /2
A(sbc) = 12 * 6V2/2
A(sbc) = 6 * 6V2
A(sbc) = 36V2 cm²

aire des faces latérales de la pyramide SABCD
La pyramide SABCD poséde 4 faces latérales égalent à SBC donc
A(sabcd) = 4 * A(sbc)
A(sabcd) = 4 * 36V2
A(sabcd) = 144V2 cm²

c) aire totale des faces du solide SABCDEFGH
Aire de SABCDEFGH = A(sabcd) + aire des faces latérales du cube ABCDEFGH
A(abcdefg) = 4 * A(ABEF) = 4AB²

A(sabcdefgh) = A(sabcd) + A(abcdefg)
A(sabcdefgh) = 144V2 + 4*12²
A(sabcdefgh) = 144V2 + 4*144
A(sabcdefgh) = 144(V2 + 4) cm² (Valeur exacte)
A(sabcdefgh) = 779.65 cm² (valeur arrondie au centième)

Partie B
SO = x
1. Volume du solide  = Volume(sabcd) + volume cube (abcdefg)
Volume d'une pyramide = aire de la base * hauteur/3
Vol(sabcd) = AB² * SO/3
vol(abcdefg) = AB² * AE (surface du carré * hauteur)

vol(sabcdefgh) = Vol(sabcd) + vol(abcdefg)
vol(sabcdefgh) = AB² * SO/3 + AB² * AE
vol(sabcdefgh) = AB² (SO/3 + AE)
vol(sabcdefgh) = 12² (x/3 + 12)
vol(sabcdefgh) = 144x/3 + 144 *12
vol(sabcdefgh) = 48x + 1728 cm³

2. x= 13,5
vol(sabcdefgh) = 48 * 13,5 + 1728
vol(sabcdefgh) = 648 + 1728
vol(sabcdefgh) = 2376 cm³

3. vol(sabcdefgh) = 2246,4 cm³
48x + 1728 = 2246,4
48x = 2246,4 - 1728
x = 518.4/48
x = 10,8 cm