Bonjour,

Voici mon exercice de Mathématiques que je ne comprends pas... Le chapitre c'est Fonction carré, Problèmes du 2nd degré, et du niveau seconde.

Un jardinier dispose d'un terrain rectangulaire de 12m sur 8m.
Il désire le partager en quatre parcelles bordées par deux allées perpendiculaires de même largeur x.
Il estime que l'aire des deux allées doit représenter  \frac{1}{6} de la superficie de son terrain.
Le but est de déterminer la largeur x des allées.
1- Exprimer en fonction de x l'aire des deux allées.
2- a) Prouver que le problème revient à résoudre l'équation x² - 20x + 16 = 0
b) Vérifier que : x² - 20x + 16 = (x - 10)² - 84
c) Déduisez-en la largeur x.

Merci de m'aider, de rédiger et de ne rien prendre sur internet! Bonne journée :)

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Réponses

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2014-03-26T15:51:32+01:00
Bonjour,

1) Les aires des deux allées sont 12x et 8x.
La somme de ces aires est égale à 12x + 8x = 20x.
Mais ces allées se croisent par un carré de côté x dont l'aire a été comptée deux fois dans le calcul précédent.
L'aire de ce carré est x².
Par conséquent, l'aire totale en m² des deux allées est égale à 20x - x².

2a) L'aire du terrain rectangulaire est égale à 12 * 8 = 96 m².
L'aire des deux allées doit représenter 1/6 de la superficie de son terrain, soit (1/6) * 96 = 16 m².

Sachant que l'aire des deux allées s'exprime par 20x - x², nous en déduisons l'équation  16 = 20x - x²,  soit x² -20x + 16 = 0.
La largeur des allées sera la solution de cette équation.

b) (x - 10)² - 84 = x² - 20x + 100 - 84
                      = x² - 20x + 16

c) Résoudre l'équation : x² - 20x + 16 = 0
(x - 10)² - 84 = 0
Appliquons la formule : a² - b² = (a + b)(a - b)
(x - 10)² - (√84)² = 0
[(x - 10) + √84][(x - 10) - √84] = 0
(x - 10 + √84)(x - 10 - √84) = 0
x - 10 + √84 = 0   ou    x - 10 - √84 = 0
x = 10 - √84   ou    x = 10 + √84 
x ≈ 0,83   ou   x ≈ 19,2

La valeur x ≈ 19,2 est à rejeter car la largeur x des allées ne peut pas être supérieure aux dimensions du terrain qui sont 12 m et 8m.

Par conséquent, la largeur des allées est égale à (10-√84) mètres, soit (10-2√21) mètres, soit environ 0,83 m (ou encore 83 cm)

Merci beaucoup Hiphigenie!! :)
Avec plaisir :)