Bonjour !
Un exercice me pose problème en demandant de conjecturer une suite en fonction de n.
" On considère la suite u définie pour tout entier n par : u(n+1) = u(n) + 2n +1 et U(0) = 0

1) Calculer les cinq premiers termes de cette suite.
2) Conjecturer l'expression de U(n) en fonction de n
3) Demontrer la conjecture.

J'ai réussi la question 1 sans problème mais pour le reste je ne sais pas du tout comment m'y prendre... Merci d'avance !

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Réponses

Meilleure réponse !
2014-03-25T18:01:36+01:00
Bonjour,

1)
U0 = 0
U1 = U0+2*0+1 =  1
U2 = U1+2*1+1 = 1+2+1 = 4
U3  = U2+2*2+1 = 4+5 = 9
U4  = U3+2*3+1 = 9+6+1 = 16
U5  = U4+2*4+1 = 16+8+1 = 25

2)On peut conjecturer que, pour tout entier naturel n,
U_n = n^2

3)Procédons par récurrence.
Initialisation : on vérifie que U0 = 0².
U_0 = 0 = 0^2
Hérédité : on montre que, si Un est le carré de n, alors Un+1 est le carré de n+1
U_{n+1} = U_n+2n+1 = n^2+2n+1 = \left(n+1\right)^2

D'où
\forall x \in \mathbb N,\\
U_n = n^2

Si tu as des questions, n'hésite pas ! =)