Bonsoir,
je m'adresse à vous car après de nombreux temps de réflexion sur cet exercice, je n'ai abouti à rien.
1) Exprimer l'aire du domaine noirci D, en unité d'aire, à l'aide d'une intégrale.
2) Montrer que la fonction F définie sur R par: F(x)=(-x²-4x-5)e^-x est une primitive de f sur R
3)En déduire l'aire exacte, en unité d'aire, du domaine D. Puis donner une valeur arrondie à 10^-2 près.

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Votre aide me sera importante, merci d'avance.

Réponses

Meilleure réponse !
2014-03-23T23:11:14+01:00
Bonsoir,

1) Aire du domaine D = \int\limits_{-1}^4(x+1)^2e^{-x}dx

2) Il suffit de vérifier que F'(x) = (x+1)²e^(-x)

[(-x^2-4x-5)e^{-x}]'=(-x^2-4x-5)'e^{-x}+(-x^2-4x-5)(e^{-x})'\\\\\ [(-x^2-4x-5)e^{-x}]'=(-2x-4)e^{-x}+(-x^2-4x-5)(-e^{-x})\\\\\ [(-x^2-4x-5)e^{-x}]'=(-2x-4)e^{-x}+(x^2+4x+5)e^{-x}\\\\\ [(-x^2-4x-5)e^{-x}]'=[(-2x-4)+(x^2+4x+5)]e^{-x}\\\\\ [(-x^2-4x-5)e^{-x}]'=(-2x-4+x^2+4x+5)e^{-x}\\\\\ [(-x^2-4x-5)e^{-x}]'=(x^2+2x+1)e^{-x}\\\\\ [(-x^2-4x-5)e^{-x}]'=(x+1)^2e^{-x}

3) Aire du domaine D =  

[(-x^2-4x-5)e^{-x}]\limits_{-1}^4\\\\=(-4^2-4\times4-5)e^{-4}-[-(-1)^2-4\times(-1)-5)e^{-(-1)}]\\\\=(-16-16-5)e^{-4}-(-1+4-5)e^{1})\\\\=-37e^{-4}-(-2)e\\\\\boxed{=-37e^{-4}+2e\ \ u.a.}\\\\\boxed{\approx4,76\ u.a.}