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  • Utilisateur Brainly
2014-03-23T08:59:33+01:00
1) f(x)=(5x+1)/(x+5)
f'(x)=(5(x+5)-5x-1)/(x+5)²=24/(x+5)²
donc f'(x)>0
donc f est croissante sur [0;+inf[

2) a) on effectue un "tracé en chemins" pour construire la suite (u)
b) conjectures :
- (u) est décroissante
- (u) est convergente vers 1

3) a) Récurrence sur n :
- Initialisation : u(0)=3 et u(1)=2 donc 0≤u(1)≤u(0)≤3
-
Hérédité : on suppose que : 0≤u(n+1)≤u(n)≤3
                 puisque f est croissante on a : f(0)≤f(u(n+1)≤f(u(n))≤f(3)
                 donc 0,2≤u(n+2)≤u(n+1)≤2
                 donc 0≤u(n+2)≤u(n+1)≤3
- Conclusion : pour tout entier n : 0≤u(n+1)≤u(n)≤3

b) la suite (u) est donc décroissante et minorée par 0
d'après le th de convergence monotone de Lebesgue, (u) est convergente

4) d'après le th du point fixe la limite L de(u) vérifie f(L)=L
donc (5L+1)/(L+5)=L
donc 5L+1=L²+5L
donc L²=1
donc L=1 car L>0
donc (u) converge vers 1
merci
peux tu m'expliquer comment calculer les 4 premier termes de la suite ? s'il te plait