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2014-03-16T11:02:35+01:00
Bonjour,

1) Dans l'équation (E), remplaçons z par iy.

(iy)^3+(8+3i)(iy)^2+(7+24i)(iy)+21i=0\\\\i^3y^3+(8+3i)(i^2y^2)+(7+24i)(iy)+21i=0\\\\-iy^3+(8+3i)(-y^2)+(7+24i)(iy)+21i=0\\\\-iy^3-8y^2-3iy^2+7iy-24y+21i=0\\\\(-8y^2-24y)+i(-y^3-3y^2+7y+21)=0\\\\\left\{\begin{matrix}-8y^2-24y=0\\-y^3-3y^2+7y+21=0
\end{matrix}\right.

2) -8y^2-24y=0\\-8y(y+3)=0\\-8y=0\ \ ou\ \ y+3=0\\y=0\ \ ou\ \ y=-3

La valeur y = 0 est à rejeter car elle ne vérifie pas l'équation -y^3-3y^2+7y+21=0

Donc y = -3 et la solution imaginaire pur est \boxed {z_0=-3i}

3) P(z)=z^3+(8+3i)z^2+(7+24i)z+21i=0\\\\P(z)=(z-z_0)(z^2+az+7)\\\\P(z)=(z+3i)(z^2+az+b)\\\\P(z)=z^3+az^2+bz+3iz^2+3aiz+3bi\\\\P(z)=z^3+(a+3i)z^2+(b+3ai)z+3bi\\\\\left\{\begin{matrix}a+3i=8+3i\\b+3i=7+24i\\3bi=21i \end{matrix}\right.\\\\\left\{\begin{matrix}a=8\\b=7\end{matrix}\right.\\\\P(z)=(z+3i)(z^2+8z+7)

4) z^3+(8+3i)z^2+(7+24i)z+21i=0\\\\(z+3i)(z^2+8z+7)=0\\\\z+3i=0\ \ ou\ \ z^2+8z+7=0\\\\z+3i=0\Longrightarrow \boxed {z_0 = -3i}\\\\z^2+8z+7=0\\\\\Delta=8^2-4\times1\times7=36\\\\z_1=\dfrac{-8-\sqrt{36}}{2}=-7\\\\z_2=\dfrac{-8+\sqrt{36}}{2}=-1

\boxed {z_1 = -7}\\\\\boxed {z_2 = -1}

4) Les solutions non imaginaires purs sont -7 et -1.
Il n'existe donc pas de point B et C images de -7 et de - 1 dont l'ordonnée est positive puisque B(-7;0) et C(-1;0).