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2014-03-16T09:37:58+01:00
Bonjour

1) Z=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{\sqrt{2}-i\sqrt{2}}\\\\Z=\dfrac{(1+i\sqrt{3})(\sqrt{2}+i\sqrt{2})}{(\sqrt{2}-i\sqrt{2})(\sqrt{2}+i\sqrt{2})}\\\\Z=\dfrac{\sqrt{2}+i\sqrt{2}+i\sqrt{6}-\sqrt{6}}{2+2}\\\\Z=\dfrac{(\sqrt{2}-\sqrt{6})+i(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{4}\\\\\boxed{Z=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}+i\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}

2) z_1=1+i\sqrt{3}\\\\z_1=2(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2})\\\\z_1=2[\cos(\dfrac{\pi}{3})+i\sin(\dfrac{\pi}{3})]\\\\\boxed{z_1=2e^{i(\dfrac{\pi}{3})}}


z_2=\sqrt{2}-i\sqrt{2}\\\\z_2=2(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2})\\\\z_2=2[\cos(\dfrac{\pi}{4})-i\sin(\dfrac{\pi}{4})]\\\\\boxed{z_2=2e^{-i(\dfrac{\pi}{4})}}

Z=\dfrac{z_1}{z_2}\\\\Z=\dfrac{e^{i(\dfrac{\pi}{3})}}{e^{-i(\dfrac{\pi}{4})}}\\\\Z=e^{i(\dfrac{\pi}{3})+i(\dfrac{\pi}{4})}\\\\Z=e^{i(\dfrac{4\pi}{12})+i(\dfrac{3\pi}{12})}\\\\\boxed{Z=e^{i(\dfrac{7\pi}{12})}}

3) Z=e^{i(\dfrac{7\pi}{12})}=\cos(\dfrac{7\pi}{12})+i\sin(\dfrac{7\pi}{12})\\\\Z=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}+i\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}

En comparant les deux écritures de Z, nous en déduisons que :

\cos(\dfrac{7\pi}{12})=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\\\\\sin(\dfrac{7\pi}{12})=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}

4) Constructions en pièces jointe.

5) Z^{2018}=(e^{i(\dfrac{7\pi}{12})})^{2018}\\\\Z^{2018}=e^{i(\dfrac{7\pi}{12}\times2018)}\\\\Z^{2018}=e^{i(\dfrac{1426\pi}{12})}\\\\Z^{2018}=e^{i(\dfrac{713\pi}{6})}\\\\Z^{2018}=e^{i(\dfrac{708\pi}{6}+\dfrac{7\pi}{6})}

Z^{2018}=e^{i(118\pi+\dfrac{7\pi}{6})}\\\\Z^{2018}=e^{i(59\times2\pi+\dfrac{7\pi}{6})}\\\\Z^{2018}=e^{i(59\times2\pi)}\times e^{i(\dfrac{7\pi}{6})}\\\\Z^{2018}=(e^{i(2\pi)})^{59}\times e^{i(\dfrac{7\pi}{6})}\\\\Z^{2018}=1^{59}\times e^{i(\dfrac{7\pi}{6})}

\\\\Z^{2018}=1\times e^{i(\dfrac{7\pi}{6})}\\\\Z^{2018}=e^{i(\dfrac{7\pi}{6})}\\\\Z=\cos(\dfrac{7\pi}{6})+i\sin(\dfrac{7\pi}{6})\\\\Z=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+i\times(-\dfrac{1}{2})\\\Z=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{i}{2}
t vraiment génial
est ce que tu peux m'aider parce ce que je sais pas trop comment m'y prendre pour construire A, B et C. ta figure est génial mais je comprent pas comment tu as fais
Tu me pardonneras mais je dois m'absenter. Je te donnerai toutes les explications au plus tard ce soir avec la résolution de l'autre exercice. A moins que... mais j'en doute :)
ok pas de problème
j'espère cependant que tu t'absente pour le plaisir et non pur une mauvaise nouvelle