On considère l'hyperbole H d'équation y= 1/x pour x>0

A. soit M le point d'abscisse a sur H (a>0)écrire, en fonction de a, l'équation de la tangente en M à la courbe H

B. la tangente en M coupe les axes en A et B. Calculer en fonction de a , les coordonnées de A et B.

C. Démontrer que M est le milieu de AB quel que soit a

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Réponses

Meilleure réponse !
2014-03-14T17:28:17+01:00
1) Le coefficient directeur de la tangente en M(a;f(a)) à f(x) et f'(a). La tangente a donc pour équation réduite :
y=f'(a)*x+b
f'(x)=-1/x² donc f'(a)=-1/a²
y=-1/a²*x+b.
En M, on a :
f(a)=-1/a²*a+b=1/a soit :
-1/a+b=1/a donc b=2/a
Soit l'équation de la tangente : y=-x/a²+2/a

2) Intersection avec l'axe des abscisses : y=0 donc
-x/a²+2/a=0
⇔x/a=2
⇔x=2a

Intersection avec l'axe des ordonnées : x=0 donc
y=2/a

Soit A(2a;0) et B(0;2/a)

Calculons MA et BM :
MA= \sqrt{(2a-a)^{2}+(0-1/a)^{2} } = \sqrt{a ^{2}+1/a^{2}  }

BM= \sqrt{(a-0) ^{2}+(1/a-2/a)^{2} } = \sqrt{a^{2}+1/a ^{2}  }

Donc MA=BM : M est le milieu de AB