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2014-03-13T10:09:07+01:00
Bonjour,

a) Utilisons la figure de l'énoncé.
AB = BC = AC = 5
La hauteur [AH] d'un triangle équilatéral est également la médiatrice de [BC]
D'où H est le milieu de [BC] ===> BH = 5/2 

Par Pythagore dans le triangle rectangle ABH, 

BH² + AH² = AB²
(5/2)² + AH² = 5²
25/4 + AH² = 25
AH² = 25 - 25/4
AH² = 100/4 - 25/4
AH² = 75/4
AH = \sqrt{\dfrac{75}{4}}=\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{4}}=\dfrac{\sqrt{25\times3}}{2}=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\ cm\approx 4,3\ cm

L'aire du triangle ABC = (1/2) * (BC * AH)
Aire_{triangle\ ABC}=\dfrac{1}{2}\times5\times\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\\\\Aire_{triangle\ ABC}=\dfrac{25\sqrt{3}}{4}\ cm^2\approx10,8\ cm^2

b) AB = BC = AC = x
La hauteur [AH] d'un triangle équilatéral est également la médiatrice de [BC]
D'où H est le milieu de [BC] ===> BH = x/2 

Par Pythagore dans le triangle rectangle ABH, 

BH² + AH² = AB²
(x/2)² + AH² = x²
x²/4 + AH² = x²
AH² = x² - x²/4
AH² = 4x²/4 - x²/4
AH² = 3x²/4
AH = \sqrt{\dfrac{3x^2}{4}}=\dfrac{\sqrt{3x^2}}{\sqrt{4}}=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}

L'aire du triangle ABC = (BC * AH)/2
Aire_{triangle\ ABC}=\dfrac{1}{2}\times x\times\dfrac{x\sqrt{3}}{2}\\\\Aire_{triangle\ ABC}=\dfrac{x^2\sqrt{3}}{4}

c)  f(x)=\dfrac{x^2\sqrt{3}}{4}\\\\f(5)=\dfrac{5^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{25\sqrt{3}}{4}\approx10,8\\\\f(3)=\dfrac{3^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{9\sqrt{3}}{4}\approx3,9\\\\f(\sqrt{3})=\dfrac{(\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\approx1,3