ABCD est un rectangle dont les côtés ont pour longeur: AB=5cm et AD=3 cm Soient les points M sur le segment AB, N sur le segment BC, P sur le segment CD et Q sur le segment DA. Les points M,NP et Q sont tels que AM=AQ=CN=CP=x.

1)a) A quel intervalle I, x appartient-til ?

b) exprimer l'aire de MNPQ en fonction de x, on notera cette aire A(x).

2)a) Montrer que pour tout réel x de I, A(x)=-2 (x-2)² +8

b) en déduire le tableau de variation de la fonction A

c)quelle est l'aire maximale obtenue? le démontrerA quelle valeur de x correspond-elle ?

3)a) Démontrer que A(x)=6 si, et suelement si, x²-4x+3=0.

b) Montrer que pour tout reel x, x²-4x+3=(x-3)(x-1).

c) En déduire alors les valeurs de x pour lesquelles l'aire de MNPQ est égale à 6.

J'ai vraiment besoin d'aide svp, la dernière fois j'avais oublier des questions. Merci d'avance.

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Réponses

2014-03-12T11:59:24+01:00
1)a) AD=3 donc x varie de 0 à 3. x∈[0;3]
b) Aire de MNPQ = Aire de ABCD-Aire de AMQ-Aire de BMN-Aire de CNP-Aire de DPQ
Aire de AMQ=Aire de CBP=x²/2
Aire de BMN=Aire de DPQ=(3-x)(5-x)/2=(15-3x-5x+x²)/2=(15-8x+x²)/2
donc Aire de MNPQ=3*5-2*x²/2-2*(15-8x+x²)/2
AireMNPQ=15-x²-15+8x-x²=8x-2x²
A(x)=-2x²+8x

2a) A(x)=-2x²+8x
A(x)=-2(x²-4x)
A(x)=-2(x²-4x+4-4)
A(x)=-2((x-2)²-4)
A(x)=-2(x-2)²+8

2b) Les variations de A(x) sont comme les variations de -(x-2)²
La fonction carré est décroissante sur IR- et croissante sur IR+ donc
la fonction -x² est croissante sur IR- et décroissante sur IR+ or :
x-2<0 sur [0;2]
x-2>0 sur [2;3]
Donc -2(x-2)²+8 est croissante sur [0;2] et décroissante sur [2;3]

2(x-2)²>0
⇔-2(x-2)²<0
⇔8-2(x-2)²<8
Donc le maximum de A(x) est 8.
Il est atteint en x=2

3a) A(x)=-2(x-2)²+8
A(x)=6
⇔-2x²+8x-8+8=6
⇔-2x²+8x-6=0
⇔x²-4x+3=0 (en divisant des 2 côtés par -2)

3b) x²-4x+3=x²-3x-x+3
x²-4x+3=x²-3x-(x-3)
x²-4x+3=x(x-3)-(x-3)
x²-4x+3=(x-3)(x-1)

3c) Un produit est nul si l'un des facteurs est nul donc
(x-3)(x-1)=0
⇔x-3=0 ou x-1=0
⇔x=3 ou x=1

Donc A(x)=6
⇔x²-4x+3=0
⇔(x-3)(x-1)=0
⇔x=3 ou x=1
Les 2 solutions de A(x)=6 sont 1 et 3