Voici donc les 7 premiers termes de la suite de Fibonacci : 0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 …

1) A l’aide d’un tableur, calculer les 50 premiers termes de la suite de Fibonacci.

2) A l’aide du tableur, calculer le quotient du 3ième
terme par le 2ième puis le quotient du 4ième terme par le 3ième, puis celui du 5ième
par le 4ième et ainsi de suite : observer cette suite de quotients obtenus en divisant un terme par son précédent.

Que peut on constater?

Merci d'avance :)

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Réponses

  • Utilisateur Brainly
2014-03-07T18:01:41+01:00
1) A l’aide d’un tableur, calculer les 50 premiers termes de la suite de Fibonacci.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155, 165580141, 267914296, 433494437, 701408733, 1134903170, 1836311903, 2971215073, 4807526976, 7778742049, 12586269025, 20365011074.

2) A l’aide du tableur, calculer le quotient du 3ième
terme par le 2ième puis le quotient du 4ième terme par le 3ième, puis celui du 5ième
par le 4ième et ainsi de suite : observer cette suite de quotients obtenus en divisant un terme par son précédent.
Que peut on constater?


conjecture :
les quotients u(n+1)/u(n) se rapproche du nombre d'or (1 + √5)/2.

preuve :
les suites géométriques (an) de raison q définies, par an+2 = an+1 + an.
On a donc : an+2 = an+1 + an

D'où : a0qn+2 = a0qn+1 +a0qn

donc : a0qn (q2 − q − 1) = 0

alors : a0= 0 ou qn = 0 ou (q2 − q − 1) = 0

C'est-à-dire a0= 0 ou q = 0 ou (q2 − q − 1) = 0

Si a0 = 0 ou si q = 0, alors la suite (an) est nulle.

On suppose donc a0 ≠ 0 et q ≠ 0.

On a alors : q2 − q − 1 = 0
Les solutions de cette équation du second degré sont : (1 − √5)/2 et (1 + √5)/2.
On note : q1 = (1 − √5)/2 et q2 = (1 + √5)/2.
On peut remarquer que q2 est le nombre d'or Φ : (1 + √5)/2.